CCSE 2001 mathematiques 1 classe prepa psi

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Concours Centrale - Supélec 2001 Filière PSI Épreuve : Mathématiques I Enfinpour TLEIN et zE[O,l],onpose Définitions et notations 1 sin=O ; S,(x) = &sin((n+ ~)XX) On note E = C"( [ 0, 11, IR) l’espace vectoriel réel des fonctions définies et conti- fi cos(nnx) si n >O nues dans l’intervalle [0, 11 à valeurs réelles. Pour f et g éléments de E, on pose (flg) = Jlf(t)g(t)&, ce qui définit sur E un et on note C = (Cn)nEIN et S = (Sn)nEIN. produit scalaire dont la norme associée est notée /I Il (on rappelle que ,,m) ) et munit E d’une structure d’espace préhilbertien réel. Ilfil = La partie IV est largement indépendante des trois parties précédentes. On dit qu’une suite Q> = ( Q~),~ E IN d’éléments de E est orthonormale si elle véri- fie la condition Partie I - Généralités sur les suites orthonormales 1.A - Montrer que C et S sont des suites orthonormales de E . 1.B - Soit Q> une suite orthonormale de E , n E IN et f E E . Soit CD une suite orthonormale de E . I.B.l) Établir la formule I]f]]* = Il~~(f)i~’ + [c!:(f)]‘. 1) Si n E IN, on désigne par Vt, le sous-espace vectoriel de E engendré par I.B.2) Calculer {@,j10cj5n}, par JJ l’opérateur de projection orthogonale de E sur Vi et i(f) S UP Ill-I Il enfin par dz(f) la distance de f E C’([O, 11, IR) à Vt . Ilfil = 1 I.B.3) Expliciter ni(f) danslabase {QjlOsjsn}. 2) On désigne par V, le sous-espace vectoriel de E réunion des Vt I En déduire que la série de terme général (f 1 ah)’ est convergente et que $ ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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