CCSE 2001 mathematiques 2 classe prepa mp

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Concours Centrale - Supélec 2001 Filière Épreuve : Mathématiques II MP l LB - On désigne par Z et 1’ les formes linéaires sur IR3 qui à un triplet Le but du problème est d’établir quelques propriétés des cônes et coni- t = (a, p, y) associent respectivement : Z(T) = abc + pca + yab ques dans le cadre de la théorie des formes quadratiques. et I’(t) = ab’c’ + pc’a’ + ya’b’ . Dans tout le problème, le corps de base est IR . Si E est un espace vectoriel réel, on désigne par Q(E) l’espace vectoriel réel des formes quadratiques définies sur Donner une relation entre le rang de la famille (Z,Z’) et la dimension de I.B.l) E . Si q E Q(E), on désigne par C, le cône isotrope de q , c’est-à-dire l’ensemble Q ‘. des vecteurs x E E tels que q(x) = 0. l.& Lorsque cette dimension vaut I , montrer que tous les éléments non Les parties sont largement indépendantes et de difficulté croissante. La résolu- nuls de Q, er ont le même cône isotrope. tion des questions préliminaires A et B n’est pas indispensable pour la suite du I.B.3) À ’ l’aide de Vect(e,e’) , interpréter la condition (2) suivante : problème. (bc’-b’c)(ca’-c’a)(ab’-a’b) + 0 (2) Question préliminaire A. On suppose (2) vérifiée. Déterminer une base de Q,,,, . Déterminer le rang des Soit E2 un plan vectoriel réel et q E Q(EJ - { 0} ; en vue de décrire C, on intro- formes quadratiques non nulles de Q,, e1 . Montrer que les éléments de Qe, e, ont duit une base B = (i,j) de E2 et on désigne par une signature ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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