CCSE 2001 mathematiques 2 classe prepa pc

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Concours Centrale - Supélec 200 1 Épreuve : MATHÉMATIQUES II Filières PC I Notations Partie I - Étude de quelques exemples 1.A - Dans cette section IA - ,p est l’ensemble des A E E qui sont inversibles : On désigne par AP, 9( C) l’ensemble des matrices à p lignes et q colonnes dont les coefficients sont des nombres complexes. Pour toute matrice A E AP, 4( C) on .di? = GL,(C). note ‘A la matrice transposée de A, A la matrice obtenue en conjuguant tous I.A.l) Soit x un vecteur non nul de V. Montrer que pour tout vecteur y non les coefficients de la matrice A et rg(A) le rang de A. nul de V il existe une matrice inversible A telle que Ax = y. On fixe un entier n 2 2 et on considère V =J&?~, ,(C) , E =An. n( C) munis des Indication : on peut considérer deux cas, opérations usuelles. Les vecteurs nuls sont notés respectivement 0, et 0,. a) la famille (x, y) est liée, L’espace vectoriel V admet pour base canonique b) la famille (x, y) est libre. (1) (0 0) \ 0 1 0 En déduire que la propriété P6 est vérifiée par 2. e,= 0 , 0 >..., e, = 0 . e2 = I.A.2) Indiquer celles des propriétés PI,..., P5 qui sont vérifiées par 2 ; jus- tifier les réponses. / (0) (0 IJ 1.B - Dans cette section 1.B - ,p est l’ensemble des matrices T = (tk,m) l E qui Pour (k,m)e [I 1,121’ onpose E,,, = ek ‘e,, ce qui donne une matrice à n lignes sont triangulaires inférieures, c’est-à-dire telles que et n colonnes dont le coefficient d’indice (i,j) vaut 1 si (ij) = (k, m) et 0 sinon. ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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