CCSE 2001 mathematiques 2 classe prepa tsi

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Concours Centrale - Supêlec 2001 Filière TSI Épreuve : Mathématiques II Le conditionnement d’une matrice est un réel qui mesure les erreurs d’approxi- Partie I - Norme N sur M,(IR) mation commises lors de la résolution d’un système linéaire dont les données ne sont pas connues avec précision. Plus ce réel est grand, moins le résultat est fia- 1.A - Soit A une matrice de M,( IR) . Montrer que l’on peut définir le réel N(A) ble. L’objectif de ce problème est de montrer que certaines matrices (appelées II Axll IIAxll par N(A) = sup - et que l’on a alors N(A) = sup - matrices de Hankel) ont un conditionnement qui croît exponentiellement avec X#O Il-dl llrll = I IIXII leur taille. 1.B - Montrer que N est une norme sur Mn( IR) et que l’on a Notations : V(A&) E M,(IR)2 > N(AB) s N(A)N(B) l n désigne un entier supérieur ou égal à 2. M,(R) désigne l’ensemble des matrices carrées d’ordre n à coefficients réels, GL,( IR) l’ensemble des matri- des vecteurs de IF?. Montrer que 1.C - Soit c,, . . . . c, ces inversibles d’ordre n et Z, l’élément unité de GL,(lR) . N([c,, . . . c,l) 2 max IICill l IRE est muni de son produit scalaire canonique que l’on notera c ., .> . i = I . ..n L’ensemble M,, , (IR) des matrices réelles à n lignes et une colonne sera iden- 1.D - Soit u un vecteur de lRn . Montrer que tifié à lRn . N([O, . ..> 0, ~1) = II4 l La norme associée sera notée II.11 , de sorte que pour x E IF?, ~/XI( = JT . 1.E - Soit A E M,(R) . Montrer que A*A est ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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