CCSE 2002 mathematiques 1 classe prepa tsi

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Concours Centrale - Supélec 2002 Filière TSI Épreuve : MATHÉMATIQUES I I Notation : C(Z,IR) désigne l’ensemble des applications continues sur l’intervalle I.A.7) Écrire, dans un langage de programmation au choix du candidat, un algorithme permettant de calculer P, pour tout n 2 1. Z, à valeurs réelles. On écrira indifféremment un polynôme P ou P(X) et on identifiera un polynôme et la fonction polynomiale associée. 1.B - Les trois parties sont indépendantes. Seules les questions III.B.l) et III.C.5) I.B.l) Tracer les courbes représentatives des fonctions f, , fZ , f3 , f4. dépendent des parties précédentes. I.B.2) Montrer qu’il n’existe pas de polynôme P unitaire de degré n tel que 1 lW)l < - Partie I - n-l -12’: 1 2 (on pourra considérer le polynôme T, -P et utiliser les résultats précédents). Pour n E IN* , on note f, l’application définie pour x: E [-1 ,l] par : I.B.3) Établir que, pour tout polynôme unitaire P de degré n : -cos(nArccosx) f,(x) = ?“‘!, SUP lf,(x)l 5 . IF%)/ -1 cxpc 1 -1cxal 1.A - ’ f(x) - I.B.4) Soit f E C([-1 ,l],lR) . Montrer l’existence de l’intégrale J_ I.A. 1) Montrer que f, est une application polynomiale de degré n et à coef- I mdx. I.B.5) ficients réels. a) Montrer que l’application (f ,g) HJ’ fog(x) dx définit un produit scalaire sur On pourra, par exemple, poser 8 = Arccosx et exprimer cosnO en fonction de -’ J1_3c2 puissances entières de COS~, en raisonnant par récurrence. C([-~,ll,W . b) Montrer que la famille de fonctions ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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