CCSE 2004 concours (6)

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CCSE 2004 concours (6)

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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MATHÉMATIQUES II Filière PSI MATHÉMATIQUES II Notations et objectifs du problème Dans tout ce problème, Ed est un espace vectoriel euclidien de dimension ≥ 1 . Le produit scalaire de deux vecteurs uv et de E est noté ()uv, la norme du vecteur uu est notée . L’espace des endomorphismes de E est noté LE() . Le composé de deux éléments fg et de L()E est noté indifféremment fg ou f o g et l’identité I . L’adjoint deE ∗ff est noté ; on rappelle qu’il est caractérisé par la propriété suivante : 2 ∗∀()uv, ∈ E, .()fu v =()ufv Si fL est un élément de E, Trf désigne la trace de fp. Le composé de exem- p 0 plaires de ff est noté (avec, par convention, f = I ). Si F est un sous espaceE de Ef stable par , l’endomorphisme induit par f sur F est noté f .F On notera SE() l’ensemble des endomorphismes symétriques (ou autoadjoints) + de ES et ()E le sous ensemble de SE() constitué des endomorphismes symé- triques dont les valeurs propres sont positives. On rappelle que, si txa ()t est une application de IR dans E et ()e =()e,,e …,e une base de Ex, par rapport à laquelle les coordonnées de ()t1 2 d sont ,xt xt,,…x ()t :1 2 d d ∀t ∈ IR,xt()= x()t e∑ i i i = 1 k alors xC est de classe sur IR , si et seulement si, pour tout entier i ∈{}12,, …,d k l’application txa ()t est une application de classe C de IR dans IR .i Soit fL un élément de ()E et x un élément de E . On considère l’équation 0 ⎧ dx ------- = fx()⎪ dt P()f , x ⎨0 ⎪ x()0 = x0⎩ 1dont l’inconnue xt est la fonction ax()t de classe C de IR dans E . On rappelle que, pour tout x de E , il existe une unique solution de P()f , x .0 0 On l’appelle fx-trajectoire de .0 Concours Centrale-Supélec 2004 1/6 MATHÉMATIQUES II Filière PSI Filière PSI Afin d’alléger la rédaction, on conviendra que toute propriété géométrique d’une trajectoire xx concerne en réalité l’ensemble ()IR ={}xt()t ∈ IR ; par exemple, on dira que la trajectoire est un cercle si ()IR est un cercle. On désigne par BE() l’ensemble des f , éléments de LE() , tels que toutes les f – trajectoires sont bornées, c’est-à-dire sont telles que, quel que soit le choix de x , il existe un réel M ≥ 0 , dépendant de x , pour lequel on a :0 0 ∀t ∈ IR, , xt() ≤ M si xf désigne la – trajectoire de x .0 De même, on note SP()E l’ensemble des f , éléments de LE() , tels que toutes les f – trajectoires sont sphériques, c’est-à-dire sont telles que, quel que soit le choix de x , il existe un élément γ ∈ E et un réel r ≥ 0 , dépendants de x , pour0 0 lesquels on a : ∀t ∈ IR, ,xt()– γ = r si xf désigne la – trajectoire de x .0 L’objectif du problème est de caractériser les ensembles BE() et SP()E . Partie I - Étude de trajectoires I.A - Soit FE un sous-espace de , stable par f. Montrer que si x∈ F , la f – tra-0 jectoire de x est contenue dans F .0 I.B - Soit f un élément de LE() , x un vecteur propre de f associé à la valeur0 propre λ et xf la – trajectoire de x . Exprimer xt() en fonction de x , λ , t .0 0 2I.C - Soit f LE() , x un élément de Ker f n’appartenant pas0 à Ker fx et la f–x . Exprimer xt()x , fx() , t et0 0 0 préciser la nature géométrique de cette trajectoire. I.D - Soit f un élément de LE() , x un élément de E –{}0 . On suppose qu’il0 existe un réel φ n’appartenant pas à πZ Z et un réel k strictement positif tels que 2 2 .()f – 2kcos φfk+ I ()x = 0E 0 On note txat la f – trajectoire de x .0 Concours Centrale-Supélec 2004 2/6 MATHÉMATIQUES II Filière PSI I.D.1) Montrer que la famille ()x ,fx est libre et justifier l’existence de0 0 deux applications uv et de IR dans E , telles que .∀t ∈ IR,xt()= ut() x +vtfx0 0 2 I.D.2) Montrer que uv et sont de classe C . Former une équation différen- tielle linéaire du second ordre, avec deux conditions initiales, vérifiée par u . En déduire l’expression de u . I.D.3) Montrer que x est bornée si et seulement si cos φ = 0 . Dans ce cas, décrire géométriquement la f – trajectoire x . À quelles conditions cette trajec- toire est-elle un cercle ? 2 2 I.E - Soit kf un réel strictement positif, un élément de L()E, gf= + k I etE 2 x un élément de Ker g . On désigne par G la famille0 .Gx={},fx() ,gx() , gf()x0 0 0 0 I.E.1) Montrer que F = vect()G est stable par f . I.E.2)G est libre si et seulement si gx() ≠ 0 .0 I.E.3) On suppose que gx() ≠ 0. Montrer que la f –trajectoire de x peut0 0 s’écrire sous la forme :xt()= ut() x +vt()fx() +wt()gx() +ht() gf()x0 0 0 0 Déterminer ut(), vt(), puis wt(), puis ht(). Montrer que cette trajectoire n’est pas bornée. Partie II - Étude des endomorphismes à trajectoires bornées Dans les questions II.A à II.D incluses, fE désigne un endomorphisme de tel que toutes les f – trajectoires sont bornées : fB∈ ()E . II.A - Soit λ une valeur propre réelle de f . Montrer que λ = 0 . 2II.B - Montrer que Ker f = Ker f et E = Im f ⊕ Ker f . II.C - Exhiber, sans démonstration, un polynôme non nul, à coefficients réels, qui annule f . Démontrer qu’il existe un polynôme unitaire à coefficient réel qui est de degré minimal parmi les polynômes non nuls de IR[]X annulant f . Dans toute la suite de la section II.C, ce polynôme est noté P . II.C.1) Soit QQ ()∈ IR[]X un diviseur non constant de PQ. Montrer que ()f ne peut être inversible. II.C.2) On suppose que P admet une racine réelle λ . Montrer que λ = 0 et, en s’aidant de la question II.B, que l’ordre de multiplicité de cette racine dans P est égal à 1 . Concours Centrale-Supélec 2004 3/6 MATHÉMATIQUES II Filière PSI II.C.3) Que dire de fP si est scindé sur IR ? II.C.4) On suppose que P possède une racine complexe λ non réelle. On écrit i φ λ sous forme trigonométrique : λ = ke , avec k et φ réels, k > 0 et φ n’appar- tenant pas à πZ Z. Démontrer qu’il existe un vecteur x ≠ 0 tel que :0 2 2 ()f – 2kcos φfk+ I ()x = 0 . En déduire la valeur de cos φ . Qu’en conclure surE 0 les racines non réelles de P ? 22 2 2 2II.C.5) Soit k > 0 , montrer que Ker()f + k I = Ker()f + k I .E E II.C.6) On suppose f ≠ 0 ; démontrer qu’ il existe un entier s ≥ 1 et des réels a,,,a … a strictement positifs et distincts tels que P soit de l’une ou l’autre des1 2 s deux formes suivantes : s s 2 2 2 2 PX= ()+ a ou XX()+ a .∏ ∏i i i = 1 i = 1 II.D - Prouver que f vérifie les deux propriétés suivantes : 2i) L’endomorphisme f est diagonalisable et ses valeurs propres sont des réels négatifs ou nuls. 2ii) .rg f = rg f 2Prouver que les dimensions des sous-espaces propres de f associés à ses valeurs propres strictement négatives sont paires. II.E - Réciproquement soit f un élément de LE() , non nul et vérifiant les deux propriétés i) et ii) de la question II.D). Établir l’existence d’un entier s stricte- ment positif, de sE sous-espaces ,,E …,E tous non réduits à {}0 , de dimen-1 2 s sions paires et stables par fs et de réels a,,, … a , strictement positifs et1 2 s distincts, tels que : s Ker f ⊕ = E (1) E i i = 1 2 2 ∀i ∈{}1,,… s, (2)∀xE∈ , f ()x = –a xi i Étudier la f – trajectoire d’un vecteur appartenant à l’un des E et en conclurei que .fB∈ ()E Concours Centrale-Supélec 2004 4/6 MATHÉMATIQUES II Filière PSI Partie III - Étude des endomorphismes à trajectoires sphériques III.A - III.A.1) Soit fL un élément de ()E. Prouver l’équivalence des deux propriétés suivantes : ∗a) f+0f = b) ∀uE∈, .()ufu = 0 Un endomorphisme vérifiant l’une de ces deux propriétés est appelé endomor- phisme antisymétrique de EA. L’ensemble de ces endomorphismes est noté ()E. III.A.2) Soit fA un élément de ()E et xf une – trajectoire associée ; calculer 2la dérivée de la fonction txa ()t . Montrer que AE() ⊂ SP()E . III.B - Soit fSP() et FE un sous-espace de stable par F. Montrer que f est élément de SP()F .F III.C - Montrer que SP()E ⊂BE() . III.D - Dans cette section III.D, E est de dimension 2 et f est un élément non nul de SP()E . 2III.D.1) Démontrer que f est une homothétie de rapport strictement négatif. III.D.2) Soit x un élément de E –{}0 et a le centre d’un cercle contenant la0 f – trajectoire de x . Justifier que a peut s’écrire sous la forme αx + βfx() et0 0 0 prouver que ()x fx= 0 .0 0 III.D.3) Prouver que AE() = SP()E . III.E - Dans cette section III.E, E est un espace vectoriel orienté de dimension . 3 Soit ω un élément de E –{}0 et vE un vecteur de orthogonal à ω . On définit l’endomorphisme ψ de E par ψ : u a ω ∧uu+()ω v . III.E.1) Montrer que ψ est antisymétrique si et seulement si v = 0 . III.E.2) Montrer que si v est non nul, ψ appartient à SP()E . On pourra commencer par prouver que pour tout x de Ex, si désigne la0 f – trajectoire de x , ()x ω est constant et l’on cherchera le centre de la0 sphère sous la forme αω+ ω ∧ v , où α est une constante à déterminer. On se propose de prouver que tout endomorphisme fS élément de P()E, non nul est de la même forme que ψ . 2III.E.3) Soit fS un élément de P()E–{}0 . Établir que f n’admet qu’une seule 2 2 2valeur propre strictement négative, notée –Iµ et que m f = Ker()f + µ I .E Concours Centrale-Supélec 2004 5/6 MATHÉMATIQUES II Filière PSI III.E.4) En déduire l’existence d’une base orthonormée de E où la matrice de f est de la forme ⎛⎞0 –µ b⎜⎟µ 00 000⎝⎠ et conclure. III.F - On suppose, dans cette question, que fS, élément de P()E, vérifie 2 2 f = –µ I où µ > 0 . À l’aide des résultats des questions III.B et III.D, montrerE que f est antisymétrique. III.G - Démontrer que, dans le cas général, SP()E est constitué des endomor- phismes fL∈ ()E qui vérifient les deux propriétés suivantes : i) E = Ker f ⊕ Im f . ii) L’endomorphisme induit par f sur Im f est antisymétrique. Ces deux conditions étant supposées réalisées, préciser géométriquement en fonction de x élément de E , le centre d’une sphère qui contient la f – trajectoire0 de . x0 ••• FIN ••• Concours Centrale-Supélec 2004 6/6
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