CCSE 2004 concours Maths Centrale Supélec

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CCSE 2004 concours Maths Centrale Supélec

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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MATHÉMATIQUES I Filière TSI MATHÉMATIQUES I Partie I - On considère l’intégrale : π --- 2 n I = cos xdx n ∫ 0 où n désigne un entier naturel. I.A - I.A.1) Déterminer une relation de récurrence entre I et I .n + 2 n I.A.2) En déduire une expression de I et I à l’aide de factorielles.2n 2n + 1 I.B - I.B.1) Montrer l’équivalence : I ∼ I .n n + 1 I.B.2) Montrer que la suite ()J avec J =()n + 1 I I est constante etn n n n + 1n ∈ IN π en déduire l’équivalence : I ∼ ------- .n 2n I.B.3) Application 1 Montrer, lorsque t , réel, tend vers + ∞ , l’équivalence : π --- t π2()cosx dx ∼ ----- .∫ 2t0 I.B.4) Application 2 ()n + 1 π xÀ l’aide de la série de terme général u = sinx dx , montrer que l’inté-n ∫ n π + ∞ xgrale impropre sinx dx est divergente.∫ 1 1⎛⎞I.C - On pose, pour n ≥ 1 , u = n + ln nn–l–n ! et v = u – u .---n n n + 1 n⎝⎠2 I.C.1) Montrer l’équivalence : 1 v ∼ ------------ .n 2 12n I.C.2) En déduire que la suite ()u est convergente. On notera S san n ∈ IN limite. Concours Centrale-Supélec 2004 1/6 MATHÉMATIQUES I Filière TSI Filière TSI I.D - Établir l’existence d’une constante C > 0 telle que : 1n + --- 2 –n n! ∼ Cn e . I.E - En utilisant la question I.B.2, en déduire l’équivalent de Stirling : n –n n!2∼ πn n e . Partie II - On considère les séries entières : n x 1 n⎛⎞------ et ln 1 + --- x .∑ ∑ ⎝⎠n n n ≥ 1 n ≥ 1 II.A - Montrer que la première série entière définit une fonction continue sur [–1,1 [ et calculer sa somme f . II.B - On considère la seconde série entière. II.B.1) Déterminer son rayon de convergence. On note g sa somme, là où elle converge. II.B.2) Montrer que cette série entière converge pour x = –1 et calculer g()–1 . II.C - Déterminer la limite à gauche de g en 1 . II.D - II.D.1) Montrer l’existence d’une limite l à gauche en 1 de gx() + ln()1 – x . II.D.2) On pose, pour n entier strictement positif, 1 1 w = 1++--- …+ --- – ln n .n 2 n Montrer que la suite ()w est décroissante.n n ∈ IN II.D.3) Montrer que ()w converge vers un réel γ strictement positif.n n ∈ IN II.E - Établir que l = – γ . Concours Centrale-Supélec 2004 2/6 MATHÉMATIQUES I Filière TSI II.F - Une expression intégrale de γ . 1 1 1⎛⎞On pose I = --- + --------------------- dt .∫⎝⎠t ln()1 – t 0 II.F.1) Montrer l’existence de I . + ∞ 1 1 –x⎛⎞II.F.2) Montrer que I = ---------------- – --- e dx et que l’application∫⎝⎠–x x1 – e0 1 1 Φ : x a ---------------- – --- est bornée sur ]0+, ∞[ . –x x1 – e II.F.3) Montrer que pour tout n ≥ 1 , on a –x –()n + 1 x + ∞ + ∞e – e –()n + 1 x1 1 I = 1++--- …+ --- – ------------------------------------dx + e Φ()x dx .∫ ∫x2 n 0 0 II.F.4) Montrer que pour n ≥ 1 et ε > 0 , on a –x –()n + 1 x –x + ∞ ()n + 1 εe – e e ------------------------------------dx = ------- dx .∫ ∫x xε ε II.F.5) Calculer l’intégrale –x –()n + 1 x + ∞ e – e ------------------------------------dx .∫ x0 II.F.6) En déduire I = γ . Partie III - n nOn considère deux séries entières a x et b x . On fait les hypothèses∑ n ∑ n n ≥ 0 n ≥ 0suivantes : • La suite ()a est à termes positifs.n n ∈ IN • La série a diverge.∑ n n ≥ 0 n• a x a un rayon de convergence égal à 1 .∑ n n ≥ 0 • b = oa()n n On note uv et les sommes respectives de ces deux séries entières sur leur inter- valle ouvert de convergence. III.A - n III.A.1) Montrer que b x a un rayon de convergence supérieur ou égal à 1 .∑ n n ≥ 0 Concours Centrale-Supélec 2004 3/6 MATHÉMATIQUES I Filière TSI III.A.2) On fixe un réel ε strictement positif. Montrer qu’il existe un entier naturel Nx tel que pour tout tel que 0 ≤ x < 1 , N ε vx() ≤ b + ---ux() .∑ n 2 n = 0 III.A.3) En déduire qu’au voisinage de 1 vx() = ou()x . III.B - Montrer que si l’on remplace l’hypothèse b = oa() par a ∼ b , alors aun n n n voisinage de 1 on a l’équivalence : ux() ∼ vx() . III.C - Application 1 : III.C.1) Déterminer le rayon de convergence de la série entière 3 1 n⎛⎞n ln ch --- x .∑ ⎝⎠n n ≥ 1 III.C.2) Déterminer un équivalent simple en 1 de sa somme. III.D - Application 2 : On considère les séries entières n n H x et ()ln n x , où l’on a posé pour n ≥ 1 ∑ n ∑ n ≥ 1 n ≥ 1 1 1 H = 1++ …+.--- ---n 2 n III.D.1) Vérifier que leur rayon de convergence est 1 et montrer que + ∞ n ∀x ∈ ]–11, [ , .()1 – x H x = –ln()1 – x∑ n n = 1 III.D.2) En déduire un équivalent au voisinage de 1 de n ()ln n x .∑ n ≥ 1 On pourra utiliser II.D.3. III.E - Application 3 : On pose pour x ∈ ]–11, [ , π --- 12 Jx()= -------------------------------- dt .∫ 2 20 1 – x cos t Concours Centrale-Supélec 2004 4/6 MATHÉMATIQUES I Filière TSI III.E.1) Développer en série entière, au voisinage de 0 , la fonction 1 x a . avec a > 0 et préciser son rayon de convergence.------------------------- 2 2 1 – a x III.E.2) Montrer pour tout x ∈ ]–11, [ la relation + ∞ 2n Jx()= a I x , ∑ n 2n n = 0 avec I les intégrales étudiées en partie I et ()a une suite que l’on expli-2n n n ∈ IN citera. III.E.3) Montrer qu’il existe une constante K réelle tel qu’au voisinage de 1 on ait l’équivalence : Jx() ∼ K ln()1 – x et préciser la valeur de K . Partie IV - n nOn considère deux séries entières a x et b x . On fait les hypothèses∑ n ∑ n n ≥ 0 n ≥ 0suivantes : • La suite ()a est à termes positifs non tous nuls.n n ∈ IN • A ∼ B , où l’on a posén n n n A = a et B = b∑ ∑n p n p p = 0 p = 0 n• Le rayon de convergence de la série a x est égal à 1 et la série a∑ n ∑ n n ≥ 0 n ≥ 0diverge. On note uv et les sommes respectives de ces deux séries entières sur leur inter- valle ouvert de convergence. IV.A - Vérifier l’égalité, pour tout x réel n n p p n + 1 ()1 – x A x = a x – A x .∑ ∑p p n p = 0 p = 0 et en déduire que le rayon de convergence de n A x est égal à 1 .∑ n n ≥ 0 Concours Centrale-Supélec 2004 5/6 MATHÉMATIQUES I Filière TSI IV.B - Établir les relations, pour tout x ∈ ]–11, [ ∞ ∞ ∞ ∞ 1 1n n n n A x = ------------ a x et B x = ------------ b x .∑ ∑ ∑ ∑n n n n1 – x 1 – x n = 0 n = 0 n = 0 n = 0 puis en déduire qu’au voisinage de 1 , on a : ux() ∼vx() . IV.C - Application 1 : n aOn considère la série entière x , où a est un entier supérieur ou égal à 2 .∑ n ≥ 0 Vérifier que son rayon de convergence est 11 et montrer qu’au voisinage de , on ∞ n aa l’équivalence x ∼ L ln()1 – x , où L est une constante réelle que l’on préci-∑ n = 0 sera. IV.D - Application 2 : ∞ ∞ 2 n nIV.D.1) Montrer que les séries entières x et ()n + 1 – n x∑ ∑ n = 0 n = 0 sont de rayons de convergence 11 et que l’on a, au voisinage de ,l’équivalence : ∞ ∞ 2 n n x ∼()n + 1 – n x .∑ ∑ n = 0 n = 0 IV.D.2) En déduire que l’on a, au voisinage de 1 , l’équivalence : ∞ ∞ 2 n 1 n x ∼ ---------- I x , ∑ ∑ n 2 π n = 0 n = 0 où ()I est la suite étudiée dans la première partie.n n ∈ IN IV.D.3) Montrer que pour x ∈ ]–11, [ , on a l’égalité : π∞ ---n dt2 I x = ----------------------- .∑ n ∫ 1 –xtcos0 n = 0 IV.D.4) Calculer l’intégrale ci-dessus et en déduire qu’au voisinage de 1 , on a l’équivalence : ∞ 2 Dn ----------------x ∼ ,∑ 1 – x n = 0 où D est une constante réelle strictement positive que l’on précisera. ••• FIN ••• Concours Centrale-Supélec 2004 6/6
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