CCSE 2004 mathematiques 1 classe prepa mp

Publié par

MATHÉMATIQUES I Filière MPMATHÉMATIQUES IAvertissementLes trois parties sont indépendantes. Le résultat final de la Partie I fournit unevaleur particulière de la fonction F étudiée dans les parties II et III.Partie I - Calcul de la somme d’une sérieI.A - I.A.1) Calculer, sous forme trigonométrique réelle, les coefficients de Fourierde la fonction 2 π -périodique impaire f : IR → IR , nulle en 0 et π , et égale à 1sur ]0, π[ . Pour tout entier n ≥ 0 , expliciter la somme partielle de Fourier S f denf .I.A.2) Que peut-on dire de la suite de fonctions ()S f ? En déduire la valeurnde∞ n()–1S = ---------------- .∑ 2n + 1n = 0I.A.3) Calculer ∞1S = ----------------------- .∑1 2()2n + 1n = 0I.B - I.B.1) Préciser le domaine d’existence dans IR de∞ 2nxLx()= ------------- . ∑ n + 1n = 0Exprimer Lx() à l’aide de fonctions usuelles.I.B.2) Calculer l’intégrale21 ln()1 – xI = ------------------------- dx .∫ 20 xI.B.3) En déduire la valeur de∞1S = --------------------------------------- .2 ∑()2n + 1()n + 1n = 0Concours Centrale-Supélec 2004 1/5MATHÉMATIQUES I Filière MPFilière MPI.B.4) Exprimer∞1S = ------------------------3 ∑ 21⎛⎞n = 1 nn – ---⎝⎠2en fonction de S et S . En déduire la valeur de S .1 2 3* * *Dans toute la suite, on utilise les notations qui suivent :• Pour tout réel t > 0 , lntt désigne le logarithme népérien de . 2• Si tz est un réel strictement positif et si =x+iy, où ()xy, ∈ IR , est un com-zplexe, on note t = exp()z ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
Lecture(s) : 205
Nombre de pages : 5
Voir plus Voir moins
MATHÉMATIQUES I Filière MP MATHÉMATIQUES I Avertissement Les trois parties sont indépendantes. Le résultat final de la Partie I fournit une valeur particulière de la fonction F étudiée dans les parties II et III. Partie I - Calcul de la somme d’une série I.A - I.A.1) Calculer, sous forme trigonométrique réelle, les coefficients de Fourier de la fonction 2 π -périodique impaire f : IR → IR , nulle en 0 et π , et égale à 1 sur ]0, π[ . Pour tout entier n ≥ 0 , expliciter la somme partielle de Fourier S f den f . I.A.2) Que peut-on dire de la suite de fonctions ()S f ? En déduire la valeurn de ∞ n ()–1 S = ---------------- .∑ 2n + 1 n = 0 I.A.3) Calculer ∞ 1 S = ----------------------- .∑1 2 ()2n + 1n = 0 I.B - I.B.1) Préciser le domaine d’existence dans IR de ∞ 2n x Lx()= ------------- . ∑ n + 1 n = 0 Exprimer Lx() à l’aide de fonctions usuelles. I.B.2) Calculer l’intégrale 21 ln()1 – x I = ------------------------- dx .∫ 20 x I.B.3) En déduire la valeur de ∞ 1 S = --------------------------------------- .2 ∑()2n + 1()n + 1 n = 0 Concours Centrale-Supélec 2004 1/5 MATHÉMATIQUES I Filière MP Filière MP I.B.4) Exprimer ∞ 1 S = ------------------------3 ∑ 21⎛⎞n = 1 nn – ---⎝⎠2 en fonction de S et S . En déduire la valeur de S .1 2 3 * * * Dans toute la suite, on utilise les notations qui suivent : • Pour tout réel t > 0 , lntt désigne le logarithme népérien de . 2• Si tz est un réel strictement positif et si =x+iy, où ()xy, ∈ IR , est un com- zplexe, on note t = exp()z lnt . • On définit la fonction p : ]0,1[ → IR par lnt ⋅ ln()1 – t pt()= -------------------------------- . t –zPour tout zt complexe tel que la fonction atpt() est intégrable sur ]0, 1[ , on pose 1 –z Fz()= t pt() dt . ∫0 On définit ainsi une fonction Fz de la variable complexe ; on notera encore, par extension, F la fonction de deux variables réelles associée. 2Ainsi, pour ()xy, ∈ IR , Fx(),y = Fx()+iy. Le but du problème est d’étudier la fonction F . Partie II - Étude locale de F II.A - Montrer que le domaine de définition de F est Ω ={}z/z ∈ CI , Re()z < 1 . On pose .I==Ω ∩ IR ]– ∞, 1[ II.B - Déterminer la limite de Fz() quand la partie réelle de z tend vers – ∞ . Concours Centrale-Supélec 2004 2/5 MATHÉMATIQUES I Filière MP II.C - II.C.1) Déterminer la limite de Fx() quand le réel xI∈ tend vers 1 . II.C.2) Pour tout xI∈ , on pose 1 –x Gx()= t lnt dt . Calculer Gx() .∫0 II.C.3) Prouver que la limite de Fx() –Gx() , quand xI∈ tend vers 1 , existe et est finie. Fx()II.C.4) En déduire la limite de quand xI∈ tend vers 1 .------------- Gx() ∞II.D - Montrer que la restriction de FI à est C . Pour tout xI∈ , donner ()kl’expression de la dérivée k–ième F ()x sous forme intégrale. II.E - ∞II.E.1) Établir que FC est de classe sur Ω . Si kl et sont deux entiers 0≥ et si z ∈ Ω , exprimer la dérivée partielle kl+ ∂ F ()z sous la forme d’une intégrale.------------------ k l ∂x ∂ y ∂F ∂FII.E.2) Comparer -------et .------- ∂x ∂y 2 2 ∂ F ∂ FII.E.3)Évaluer .---------- + ---------- 2 2 ∂x ∂ y II.F - II.F.1) Soient z ∈ Ω et ()z une suite de points de Ω, distincts de z,n qui converge vers z . Prouver l’existence de Fz() –Fz()nlim .---------------------------------- z – zn → ∞ n ∂F ∂F On pourra utiliser la continuité de ------- et de ------- , ainsi que le résultat de II.E.2. ∂x ∂y On observera que cette limite ne dépend que de zz, et non de la suite () .n Par la suite, on note DF()z cette limite. On définit ainsi une application DF : Ω → CI . II.F.2) Pour tout entier k ≥ 2, démontrer l’existence de l’application k k – 1 1 DFD=()DF : Ω → CI . On convient que DFD= F. Concours Centrale-Supélec 2004 3/5 MATHÉMATIQUES I Filière MP II.G - II.G.1) Pour tout réel t > 0, développer en série entière de u la fonction –u u ∈ CI → t . Préciser le rayon de convergence. II.G.2) Établir qu’au voisinage de 0 , ∞ 11k k Fz()= c z où c = ----- ()–lnt pt() dt . (1)∑ k k ∫k! 0 k = 0 II.G.3) Quel est le rayon de convergence R de la série entière (1) ? II.H - II.H.1) Déterminer un équivalent de c quand k → ∞ .k II.H.2) Quelle est la nature de la série (1) quand zR= ? Partie III - Développements en série III.A - III.A.1) Développer en série entière de t ∈ IR la fonction ln()1 – t t → --------------------- . Préciser le rayon de convergence. t III.A.2) Pour tout entier n ≥ 0 et tout z ∈ Ω , calculer 1nz– u ()z = t lnt dt .n ∫0 ∞ 1 III.A.3) Démontrer que Fz()= ------------------------ .∑ 2 nn()–zn = 1 III.B - III.B.1) Pour tout xI∈ , exprimer x φ()x = Fu() du ∫– ∞ sous forme d’une série ne faisant plus intervenir d’intégrale. Préciser φ()0 . III.B.2) Déterminer un équivalent de φ()x quand xI∈ tend vers 1 . III.C - 2III.C.1) Si y ∈ IR , on pose Hy()= Fi()y. Les fonctions H et H sont-elles intégrables sur IR ? Préciser la valeur de ∞ Hy() dy .∫– ∞ Concours Centrale-Supélec 2004 4/5 MATHÉMATIQUES I Filière MP III.C.2) Pour quelles valeurs des réels α et β , la somme – α – β S()αβ, = ()mn()mn+ est-elle finie ?∑ mn, ≥ 1 III.C.3) Si ∞ –2 –2 K = ()yi+m()yi– n dy ,mn, ∫ – ∞ où mn et sont des entiers 1≥ , calculer K . En déduire la valeur demn, ∞1 2 ------ Hy()dy sous la forme S()αβ, .∫4 π – ∞ III.D - III.D.1) Démontrer que la série de fonctions obtenue en III.A.3 converge sur un ˜domaine Ω de CI que l’on précisera. On note encore F le prolongement de F à ∞˜ ˜Ω . Prouver que FC est de classe sur Ω . III.D.2) Soient pn un réel, un entier 0> , z et z ′ deux complexes dont les0 parties réelles sont majorées par n . Pour tout entier nn> , majorer0 0 –p –p ()z ′ – n –()zn– en fonction de nn, , pz et ′ – z .0 III.D.3) Avec les notations de II.F.1 et II.F.2, pour tout entier k ≥ 1 et tout k˜z ∈ Ω , établir l’existence de D Fz() qu’on exprimera sous forme de somme d’une série. III.E - III.E.1) Pour tout entier k ≥ 0, évaluer c , défini en II.G.2, sous forme dek somme d’une série numérique. III.E.2) Retrouver, à l’aide du III.E.1, le résultat obtenu en II.H.1. ••• FIN ••• Concours Centrale-Supélec 2004 5/5
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.