CCSE 2004 mathematiques 1 classe prepa pc

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MATHÉMATIQUES I Filière PCMATHÉMATIQUES InDans tout le problème, aa=() désigne une suite de complexes et a zn ∑ nn∈ INla série entière associée, dont le rayon de convergence R est supposé non nulaet fini.nOn note C l’ensemble des complexes z de module R tels que a za a ∑ nest convergente.On appelle cercle unité l’ensemble des complexes de module 1 : un complexe zappartient au cercle unité si et seulement s’il existe un réel x appartenant àixl’intervalle I = ]–]ππ, tel que z = e .D’autre part on note : 2πZ Z ={}2kπ k∈ Z Z , et [[ pq, ]] désigne l’ensemble desentiers naturels k vérifiant : pkq≤≤ .On étudie différentes séries entières pour lesquelles l’ensemble C prend diffé-arentes formes. Dans le cas où C est un cercle, on propose d’observer différents comportementsade la fonction somme de la série entière sur ce cercle.Partie I - Calculs préliminairesLes résultats de cette partie sont destinés à préparer les démonstrations desparties suivantes.I.A - Montrer les inégalités :2∀x∈[,0 π], 0≤≤sinx x et ∀x∈[,0 π Ú 2], sinx≥ x .---πI.B - Montrer que pour tout x qui appartient à IR \2πZ Z et pour tout coupled’entiers naturels ()pq, tel que pq≤ : qikx 1e ≤ .∑ ----------------xkp= sin ---2I.C - Soient ()u et ()v deux suites complexes.n * n *n∈ IN n∈ INConcours Centrale-Supélec 2004 1/7 MATHÉMATIQUES I Filière PCFilière PCOn note ()V la suite des sommes partielles de la série v :*n ∑ nn∈ INn≥ 1n*pour tout n∈ IN , V = v ...
Publié le : mardi 5 juillet 2011
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MATHƒMATIQUES IFiliËre PC MATHƒMATIQUES I
n Dans tout le problËme,a=(a)dÈsigne une suite de complexes eta z n nINn la sÈrie entiËre associÈe, dont le rayon de convergenceRest supposÈ non nul a et Þni. n On noteCdes complexes lÕensemblezmodule deR telsquea z a an est convergente. On appelle cercle unitÈ lÕensemble des complexes de module 1 : un complexez appartient au cercle unitÈ si et seulement sÕil existe un rÈelx appartenant ix lÕintervalleI= ]Ðπ,π]tel quez=e. DÕautre part on note:2πZZ={2kπkZZ}, et[[p,q]]lÕensemble des dÈsigne entiers naturelskvÈriÞant :pkq. On Ètudie diffÈrentes sÈries entiËres pour lesquelles lÕensembleCprend diffÈ-a rentes formes. Dans le cas o˘Cest un cercle, on propose dÕobserver diffÈrents comportements a de la fonction somme de la sÈrie entiËre sur ce cercle.
Partie I - Calculs prÈliminaires Les rÈsultats de cette partie sont destinÈs ‡ prÈparer les dÈmonstrations des parties suivantes. I.A -Montrer les inÈgalitÈs : 2 x[0,π],0sinxxetx[0,πÚ2],sinx-x. π I.B -Montrer que pour toutx quiappartient ‡IR\2πZZ etpour tout couple dÕentiers naturels(p,q)tel quepq: q ikx 1 e. -x k=p  sin-  2 I.C -Soient(u)et(v)deux suites complexes. n*n* nINnIN
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FiliËre PC
FiliËre PC
On note(V)la suite des sommes partielles de la sÈriev: n*n nIN n1 n * pour toutnIN,V=v. nk k= 1 I.C.1) Montrerque pour tout couple dÕentiers naturels(p,q) telque 1p<qÐ 1, on a : q qÐ 1 u v=(uÐu)V+u VÐu V. k kk k+ 1k qq p+ 1p k=p+ 1k=p+ 1 I.C.2) Onsuppose que la suite(V)est bornÈe et que la sÈrie * n nIN uÐuest absolument convergente. k k+ 1 k1 Montrer que la sÈrieu vest convergente. n n n1 I.C.3) Onsuppose que la suite(V)est bornÈe et que la suite(u) n*n* nINnIN est dÈcroissante, convergente et de limite nulle. Montrer que la sÈrie u vest convergente. n n n1 I.D -DÈduire des questions prÈcÈdentes que pour toutx quiappartient ‡ IR\2πZZ, les sÈries cos(kx)sin(kx) --et--sont convergentes. ∑ ∑ k k k1k1 Que dire pour un rÈelxqui appartient ‡2πZZ?
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MATHƒMATIQUES IFiliËre PC Partie II - Quelques exemples dÕensemblesC a On se place dans le cadre des notations de lÕintroduction. n II.A -Soit(b)dÈÞnie pour toutnINpar :b=a(R). a n nn n IN n Montrer que le rayon de convergence de la sÈrie entiËreb zestR= 1et n b z quÕun complexezappartient ‡Csi et seulement si-appartient ‡C. a b R a On se ramËne ainsi ‡ lÕÈtude de sÈries entiËres de rayon de convergence Ègal ‡1 II.B -On suppose dans cette question queaest convergente et queR= 1. n a II.B.1) DÈterminerC. a II.B.2) Onnote pour toutnIN: IIC : fn. inx xa e n Montrer que la sÈrie de fonctionfconverge uniformÈment surIvers une n fonction continue surI. n II.B.3) Donnerun exemple simple de sÈrie entiËrea zpour laquelleC n a est le cercle unitÈ. n II.C -Donner un exemple simple de sÈrie entiËrea zpour laquelleR= 1 n a etCest vide. a II.D - Construction de quelques cas intermÈdiaires. n II.D.1) Onsuppose quÕil existe un complexezde module 1 tel quea zsoit 0n0 n semi-convergente (cÕest-‡-dire quea zest convergente mais ne converge pas n0 absolument). Montrer quÕalorsR= 1. a *1 II.D.2) Soitξun complexe de module 1. Si pour toutnIN,a=--, mon-n n nξ trer queCest le cercle unitÈ privÈ dÕun point ‡ dÈterminer. a * II.D.3) SoitpINetpcomplexes distinctsξ, ,ξ, tous de module 1. 1p n Construire un exemple de sÈrie entiËrea zlaquelle pourCle cercle est n a unitÈ privÈ desppointsξ, ,ξ. 1p *cosn II.D.4) Onsuppose que, pour toutnIN,a=--. n n DÈterminerRetC. a a La sÈrieaest-elle convergente ? n n1
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MATHƒMATIQUES IFiliËre PC Partie III - Un exemple pour lequelCest le cercle unitÈ et a adiverge n Dans cette partie, on dÈÞnit la suiteade la faÁon suivante : n ¥a= 0, o ¥ pourtout naturelpnon nul et tout naturelntel que p 2 2(Ð 1) pn(p+ 1)Ð 1 :a=--. n 2 p III.A -Montrer que la sÈrieaest divergente. n (On pourra par exemple chercher un Èquivalent dea). n III.B -Soit(A)la suite des sommes partielles de la sÈrie numÈriquea. nn * 2 III.B.1) PourNIN, on notePle plus grand entier naturel vÈriÞant :PN. On pose :R=AÐA2. N N PÐ 1 2P+ 1 Montrer queR--. N 2 P III.B.2) EndÈduire que la sÈrieaest convergente. n ix III.C -Soitz=eun complexe de module 1, avecxnon nul appartenant ‡I. III.C.1) CalculeraÐasuivant les valeurs du natureln, et en dÈduire que n+ 1n la sÈrieaÐaest convergente. n+ 1n n III.C.2) DÈduiredes rÈsultats prÈcÈdents et de la partie I que la sÈriea z n est convergente.
Partie IV - Un dernier exemple
IV.A -On veut montrer quÕil existe une constante rÈelleC 1 entier naturel non nulnet tout rÈelx: n sin(kx) -C. 1 k k= 1
telle que pour tout
Soientx]0,π[etkle plus grand entier naturel tel quekx≤ π. x x IV.A.1) Onsuppose que1nk. Montrer que : x n sin(kx) 0-≤ π. k k= 1
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MATHƒMATIQUES IFiliËre PC IV.A.2) Onsuppose quen>k. Montrer que : x n sin(kx) -2. k k=k+ 1 x On pourra notamment utiliser le rÈsultat de la question I.C.1. IV.A.3) Conclure. IV.B -SoitnetNdeux entiers naturels tels que :1nN. SoitQle polynÙme dÈÞni par : n,N NÐ 1N+n 1k1k Q(X)=-X+-X. n,N∑ ∑ NÐk NÐk k=NÐn k=N+ 1 IV.B.1) SoitxIR. Montrer que : n ix iNxsin(kx) Q(e)= Ð2ie--. n,Nk k= 1 IV.B.2) EndÈduire quÕil existe une constante rÈelleCque, pour telle 2 tout couple de naturels(n,N)tel que1nNet tout complexezde module 1 : Q(z)C. n,N2 IV.C -, on pose :Pour tout entier naturel non nul 3 3 (j) (j+ 1) n= 2,N= 2etI= [[NÐn,N+n]]. j jj jj jj VÈriÞer que les intervallesIainsi dÈÞnis sont disjoints deux ‡ deux. j
Pour toute la suite du problËme, onpose pour tout naturelnon nul: P=Q, et on dÈÞnit les suites(α)et(a)de la faÁon suivante : j n,kN kINkj jkIN ¥ sÕilexistejIN*tel quekI, etkN, alors : j j (ik)Új 1e α=--eta=--; k k 2 NÐk j j(NÐk) j ¥ sinonα=a= 0. k k k On Ètudie la sÈrie entiËrea z. k * Pour toutnINetxπ,π], on note 1   n n i x+-  j ikx1   A(x)=a eetB(x)=-P e. n2  n kj j k= 0j= 1 
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MATHƒMATIQUES IFiliËre PC IV.D -Montrer que la suite de fonctions(B)converge uniformÈment sur n * nIN Ivers une fonction continue que lÕon noteraF.
IV.E -Montrer que pour tout naturelnnon nul et toutxappartenant ‡I: B(x)=A3(x). n (n) 32 IV.F -On veut montrer que la suite de fonctions(A)converge Ègalement n nIN versFsurI. * 2 IV.F.1) Montrerque pour toutjINet(p,q)(I)tels quep<q: j qÐ 1 αÐα ≤4. k k+ 1 k=p IV.F.2) EndÈduire quÕil existe une constante rÈelleC telleque pour tout 3 entier naturelnon nul, pour tout couple de naturels(p,q), tels quepqet pour tout rÈelxnon nul appartenant ‡I: q C ikx3 αe-. k x k=p IV.F.3) SoitxI,x≠ π. VÈriÞer que, pourentier naturel sufÞsamment grand, on a 1 1 x+-0etx+-I. j j En dÈduire que pournnaturel sufÞsamment grand : C 3 3 13(j) (j+ 1) A(x)ÐB(x)---est lÕentier naturel tel que, o˘2n<2. n j 2 1 j x+-j On considËre maintenant le casx=π. Montrer, avec les mÍmes conditions sur etn, que C 13 A(x)ÐB(x)---. n j 2 1 j πÐ-j IV.F.4) Conclure.
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MATHƒMATIQUES IFiliËre PC IV.G -On note pour toutnIN: IIC f:. n inx xa e n On veut prouver que la sÈrie de fonctionsfne converge pas uniformÈment n surI. IV.G.1) Montrerque, pour tout entier naturelnon nul : 3 (j) 2 1 11 1    AÐ-ÐAÐ-=--. j j2k N NÐnÐ 1 j jj j k= 1 IV.G.2) Donnerun Èquivalent simple de cette expression lorsquetend vers+et conclure. IV.H -DonnerRetC. a a
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