CCSE 2004 mathematiques 1 classe prepa psi

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MATHÉMATIQUES I Filière PSIMATHÉMATIQUES INotations, définitions∗Si IF est un intervalle, une application de I dans , n un élément de IN , onn 0pose F = Foo… F (composé de nF fois ) ; on convient que F= Id . Si IJ et Isont deux intervalles de IR et FI dans JF, on dit que est1un C -difféomorphisme de IJ sur si et seulement si F est une bijection de1 1classe C de IJ sur dont la réciproque est elle aussi de classe C. On rappelle1que, pour qu’il en soit ainsi, il faut et il suffit que F soit de classe , que la déri-vée F ′ de FI ne s’annule pas sur , et que F()I= J .On désignera par ε l’ensemble des couples ()If, où I est un intervalle de IR de∞la forme []0, r avec r > 0 et fC une application de classe de I dans lui-mêmevérifiant :i) ,f()0 = 0 ii) ,∀xI∈ \0{}fx() < x,iii) ,∀xI∈ f ′()x > 0.Si ()If, et ()Jg, sont dans ε , on dit que ()If, et ()Jg, sont conjugués si, et seu-+∗lement si, existent deux réels rr et ′ dans IR tels que []0, r ⊂ I , []0, r ′ ⊂ J et1un C -difféomorphisme croissant h de []0, r sur []0, r ′ tel que :–1∀y ∈[]0, r ′ , .gy()=hfooh()yEnfin, si λ est dans ]01, ] , ε désigne l’ensemble des couples ()If, éléments deλε tels que f ′ 0()= λ .Objectif du problèmeLe but du problème est de prouver que si λ est dans ]01, ] , alors deux élémentsquelconques de ε sont conjugués puis d’étudier le problème de la conjugaisonλdans . ε1Dépendance des partiesLe résultat du I.D est utilisé dans les parties II et III. Les parties II et III ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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MATHÉMATIQUES I Filière PSI MATHÉMATIQUES I Notations, définitions ∗Si IF est un intervalle, une application de I dans , n un élément de IN , on n 0pose F = Foo… F (composé de nF fois ) ; on convient que F= Id . Si IJ et I sont deux intervalles de IR et FI dans JF, on dit que est 1un C -difféomorphisme de IJ sur si et seulement si F est une bijection de 1 1classe C de IJ sur dont la réciproque est elle aussi de classe C. On rappelle 1que, pour qu’il en soit ainsi, il faut et il suffit que F soit de classe , que la déri- vée F ′ de FI ne s’annule pas sur , et que F()I= J . On désignera par ε l’ensemble des couples ()If, où I est un intervalle de IR de ∞la forme []0, r avec r > 0 et fC une application de classe de I dans lui-même vérifiant : i) ,f()0 = 0 ii) ,∀xI∈ \0{}fx() < x, iii) ,∀xI∈ f ′()x > 0. Si ()If, et ()Jg, sont dans ε , on dit que ()If, et ()Jg, sont conjugués si, et seu- +∗lement si, existent deux réels rr et ′ dans IR tels que []0, r ⊂ I , []0, r ′ ⊂ J et 1un C -difféomorphisme croissant h de []0, r sur []0, r ′ tel que : –1 ∀y ∈[]0, r ′ , .gy()=hfooh()y Enfin, si λ est dans ]01, ] , ε désigne l’ensemble des couples ()If, éléments deλ ε tels que f ′ 0()= λ . Objectif du problème Le but du problème est de prouver que si λ est dans ]01, ] , alors deux éléments quelconques de ε sont conjugués puis d’étudier le problème de la conjugaisonλ dans . ε1 Dépendance des parties Le résultat du I.D est utilisé dans les parties II et III. Les parties II et III sont formellement indépendantes, mais certaines questions de la partie III se trai- tent sur le modèle de questions de la partie II ; elles sont explicitement signalées dans l’énoncé. Concours Centrale-Supélec 2004 1/6 MATHÉMATIQUES I Filière PSI Filière PSI Partie I - Préliminaires I.A - Soit ()If, et ()Ig, deux éléments conjugués de ε. Montrer que f ′ 0()= g ′0 . I.B - Soit f une application de []01, dans lui-même telle que ()[]01, , f appar- tienne à ε . I.B.1) Montrer que f ′ 0() est dans ]01, ] . nI.B.2) Montrer que la suite de fonctions ()f converge simplement vers 0n ≥ 1 sur .[]01, I.B.3) Montrer que cette convergence est uniforme. I.C - Soit ()u une suite de réels strictement positifs. On suppose que la sérien n ≥ 0 de terme général a = u – 1 converge absolument et on pose, si n ∈ IN :n n n P = u .n ∏ k k = 0 En considérant la série de terme général ()lnP – lnP , montrer que la suiten + 1 n ()P converge vers un réel strictement positif.n +∗I.D - Soit I un intervalle de IR et φ une suite de fonctions de I dans IR .n n ≥ 0 On suppose que la série de fonctions de terme général ψ = φ – 1 converge nor-n n malement sur In. On pose, si ∈ IN : n Q = φ .n ∏ k k = 0 Montrer que la suite de fonctions ()Q converge uniformément sur I versn n ≥ 0+∗une fonction à valeurs dans IR . Concours Centrale-Supélec 2004 2/6 MATHÉMATIQUES I Filière PSI Partie II - Conjugaison d’éléments de ε localement contractants Soient λ dans ]01, ] et f une application de []01, dans lui-même telle que ()[]01, , f appartienne à ε . Soit, pour n ∈ IN :λ n f u = ------ .n n λ Soit enfin h l’application de []01, dans []01, définie par :λ ∀λx ∈[]01, , h ()x = x .λ II.A - Si ,n ∈ IN calculer u ofh– o u .n λ n + 1 II.B - 2II.B.1) Montrer qu’il existe ε > 0 tel que λε+ < 1 et ()λε+ < λ . II.B.2)a dans ]01, ] tel que : ∀x ∈[]0, a, .fx() ≤()λε+ x II.C - II.C.1) Montrer qu’il existe C ≥ 0 tel que : 2 ∀x ∈[]01,, .fx() – λx ≤ Cx II.C.2)n ∈ IN tel que :0 n ∀nn≥, , ∀x ∈[]01, f ()x ∈[]0, a.0 II.C.3) Pour nn≥ et x ∈[]01, , majorer u ()x – u ()x et prouver que la0 n + 1 n suite de fonctions ()u converge uniformément sur []01, . Sa limite seran n ≥ 0 notée . u II.D - II.D.1) Montrer que la série de fonctions de terme général u ′n + 1 --------------- – 1 converge normalement sur []01, . u ′n 1II.D.2) En déduire que uC est un -difféomorphisme de []01, sur son image. II.E - Conclure que ()[]01, , f et ()[]01, , h sont conjugués.λ Concours Centrale-Supélec 2004 3/6 MATHÉMATIQUES I Filière PSI Partie III - Conjugaison des éléments de ε tangents à l’identité ∗On note ε l’ensemble des éléments ()If, de ε tels que l’ensemble1 1 ()k + 1 ∗∗{}kN∈ , f ()0 ≠ 0 soit non vide. Pour ()If, dans ε , on note1 ()k + 1∗ν()f = minkN∈ , f ()0 ≠ 0 . La formule de Taylor-Young donne alors : ()νf + 1 ν()f + 1 ν()f + 1 –f ()0quand , x → 0 fx()=xa– x +ox() avec a = ------------------------------------.νf + 1 ! III.A - ∗III.A.1) Pour q dans IN , soit θ la fonction définie sur []01, par :q x ∀x ∈[]01,, .θ ()x = ----------------------------q 1 ⁄ qq ()1 + x ∗Montrer que ()[]01, , θ est dans ε , préciser νθ() .1q q Dans la suite de III.A, on considère une fonction f de []01, dans []01, telle que ∗ε()[]01, , f appartienne à et on pose q = ν()f puis :1 ()q + 1 f ()0 a = – -------------------------- .q + 1 ! III.A.2) a) Vérifier que a est strictement positif. b) Si ()Ig, appartient à ε et est conjugué à ()[]01, , f , vérifier que ()Ig, est ∗aussi dans ε avec ν()g = q .1 III.A.3) Dans ce III.A.3, on suppose qu’il existe k dans {}23,, …,q et b dans ∗IR tels que q + 1 qk+ qk+quand , x → 0 fx()=xa– x++bx ox(). +Soit β un nombre réel et h la fonction définie sur IR par : + k ∀x ∈ IR, .hx()= x + βx +∗ 1a) Montrer qu’il existe rr et ′ dans IR tels que h induise un C -difféomor- phisme de []0, r sur []0, r ′ . –1Dans la suite de III.A.3, les réels rr et ′ sont ainsi choisis et on note h le dif- féomorphisme réciproque de la restriction de h à []0, r . –1 k kb) Établir :quand y → 0 , h ()y = y – β y +oy() . Concours Centrale-Supélec 2004 4/6 MATHÉMATIQUES I Filière PSI c) Déterminer les développements limités à l’ordre qk+ en 0 de x a hfo ()x –1puis de y a hfooh()y . III.A.4) De ce qui précède déduire l’existence d’un réel EI et d’un couple (),g ∗de ε conjugué à ()[]01, , f et tels que :1 q + 1 y 2q + 1 2q + 1quand , y → 0 gy= y – ++Ey oy().------------- q III.B - Dans cette section III.B, qE est un entier strictement positif, est un nombre réel et g une application de []01, dans lui-même telle que ()[]01, , g ∗appartienne à ε et que :1 q + 1 y 2q + 1 2q + 1quand , y → 0 gy()= y – + Ey +oy(). ------------- q On définit une application τ sur ]01, ] par :q 1 ∀y ∈ ]0, 1], .τ ()y = ------q q y 1Donc τ est un C -difféomorphisme de ]01, ] sur ; on ne demande pas[1+, ∞ [q –1de le vérifier. Soit enfin .G = τoog τq q III.B.1) –1a) Identifier .T = τooθ τq q q q b) Quelles propriétés de G déduit-on des propriétés ii) et iii) du début de l’énoncé ? c) Déterminer un nombre réel R tel que : R 1⎛⎞quand ,x → + ∞ Gx()= x++1 + O ------------------.---- 11+ ⁄ q⎝⎠x x III.B.2) a) Montrer qu’il existe un entier naturel n tel que :0 n n ∀nn≥, , ∀x ∈ [1+, ∞ [ G ()x ≥ x + ---.0 2 Pour tous nx entier naturel et réel supérieur ou égal à 1 , on pose : n u ()x = G ()x – n . n b) Montrer qu’il existe C > 0 tel que : C ∀nn≥, , ∀x ∈ [1+, ∞ [ u ()x – u ()x ≤ ----.0 n + 1 n n Concours Centrale-Supélec 2004 5/6 MATHÉMATIQUES I Filière PSI En déduire que pour tout X ≥ 1 il existe un réel strictement positif K tel que : ∀nn≥, , ∀x ∈[]1, X u ()x ≤Knln.0 n c) Pour tous nx entier naturel strictement positif et réel supérieur ou égal à 1, on pose : v ()x = u ()x –Rnln , où R est la constante définie au III.B.1-c).n n Démontrer, en procédant comme au II.C.3), que la suite de fonctions ()vn n ≥ 0 converge vers une fonction v et que cette convergence est uniforme sur tout seg- ment inclus dans [1+, ∞ [ . d)Si ,x ≥ 1 vérifier que vGo ()x= vx() + 1 . III.B.3) a) Montrer que : 1⎛⎞quand ,x → + ∞ G ′()x = 1 + O -----.⎝⎠2 x b) Montrer que lim vx()= + ∞ et, en procédant comme en II.D.1), prouver que x → + ∞ 1 vC est un -difféomorphisme de [1+, ∞ [ sur son image. III.B.4) a) Montrer que v ′()x → 1 quand x → + ∞ . b) Conclure, si f est une fonction de []01, dans lui-même telle que ()[]01, , f soit ∗dans ε et ν()f = q , que ()[]01, , f est conjugué à ()[]01, , θ .1 q III.C - Soit ()w la suite définie par :n n ≥ 0 π w = et ∀n ∈ IN , w = sh ()sinw .---0 n + 1 n8 III.C.1) aa) Utiliser ce qui précède pour montrer que w admet un équivalent du type ------n α navec a et α réels. Déterminer α . b) Montrer qu’il existe des nombres réels bc et tels que : lnn 1a b ⎛⎞w = ------++--------- c --------- + O --------- .n α 3 α 5 α ⎝⎠5 α n n n n III.C.2) Établir un programme permettant de calculer abc,, (on utilisera le langage de programmation associé au logiciel de calcul formel). ••• FIN ••• Concours Centrale-Supélec 2004 6/6
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