CCSE 2004 mathematiques 2 classe prepa mp

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MATHÉMATIQUES II Filière MPMATHÉMATIQUES IIObjectif du problèmeCette introduction est destinée à expliquer le type des résultats obtenus dans leproblème. Ce dernier ne commence qu’à partir du I.Dans la démonstration en 1994 du « dernier théorème » de Fermat par AndrewWiles, les « courbes elliptiques » jouent un rôle central par le biais de l’action dugroupe SL()Z Z sur le demi-plan ouvert H ={}z ∈ CI : Imz() > 0 .2En effet, il se trouve que l’ensemble des courbes elliptiques sur le corps CI est enbijection (à un CI -isomorphisme près) avec l’ensemble des réseaux de CI (à unesimilitude près), lui même en bijection avec l’ensemble des orbites du demi-plan H sous l’action de SL()Z Z . Ce sont quelques propriétés de ces deux derniers2ensembles que nous proposons d’étudier dans ce problème.Partie I - Matrices carrées d’ordre 2 à coefficients entiersabSoit M()Z Z l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients dans2cdl’anneau Z Z des entiers relatifs.Dans les parties I, II, III, les lettres ab, , c , d désignent des éléments de Z Z . Onpose :10I = .201I.A - Démontrer que l’ensemble M()Z Z est un anneau.2I.B - I.B.1)GL()Z Z des éléments de M()Z Z inversi-22bles dans M()Z Z est un groupe pour la multiplication, appelé le groupe des uni-2tés de l’anneau M()Z Z .2I.B.2) Montrer queab ∈ GL()Z Z si et seulement si ad–1bc = .2cdConcours Centrale-Supélec 2004 1/7MATHÉMATIQUES II Filière MPFilière MPI.C - On pose⎧⎫abSL()Z Z = ∈ ...
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MATHÉMATIQUES II Filière MP MATHÉMATIQUES II Objectif du problème Cette introduction est destinée à expliquer le type des résultats obtenus dans le problème. Ce dernier ne commence qu’à partir du I. Dans la démonstration en 1994 du « dernier théorème » de Fermat par Andrew Wiles, les « courbes elliptiques » jouent un rôle central par le biais de l’action du groupe SL()Z Z sur le demi-plan ouvert H ={}z ∈ CI : Imz() > 0 .2 En effet, il se trouve que l’ensemble des courbes elliptiques sur le corps CI est en bijection (à un CI -isomorphisme près) avec l’ensemble des réseaux de CI (à une similitude près), lui même en bijection avec l’ensemble des orbites du demi-plan H sous l’action de SL()Z Z . Ce sont quelques propriétés de ces deux derniers2 ensembles que nous proposons d’étudier dans ce problème. Partie I - Matrices carrées d’ordre 2 à coefficients entiers abSoit M()Z Z l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients dans2 cdl’anneau Z Z des entiers relatifs. Dans les parties I, II, III, les lettres ab, , c , d désignent des éléments de Z Z . On pose : 10 I = .2 01 I.A - Démontrer que l’ensemble M()Z Z est un anneau.2 I.B - I.B.1)GL()Z Z des éléments de M()Z Z inversi-22 bles dans M()Z Z est un groupe pour la multiplication, appelé le groupe des uni-2 tés de l’anneau M()Z Z .2 I.B.2) Montrer que ab ∈ GL()Z Z si et seulement si ad–1bc = .2 cd Concours Centrale-Supélec 2004 1/7 MATHÉMATIQUES II Filière MP Filière MP I.C - On pose ⎧⎫abSL()Z Z = ∈ M()Z Z : ad–1bc = ;⎨⎬22 cd⎩⎭ I.C.1) Montrer que SL()Z Z est un groupe pour la multiplication des matri-2 ces. I.C.2) Déterminer l’ensemble des couples (,cd) ∈ZZZ× Z tels que la matrice 35 appartienne à SL()Z Z .2 cd I.C.3)(,cd) ∈ZZZ× Z tels que la matrice 35 appartienne à GL()Z Z .2 cd I.C.4) Quelle est la condition nécessaire et suffisante portant sur le couple (,ab) de ZZZ× Z pour qu’il existe une matrice ab appartenant à GL()Z Z ?2 cd I.D - Soient ST et les éléments de SL()Z Z définis par2 01– 11S = et T = . 10 01 Pour chacune des trois matrices TS, et TS , répondre aux questions suivantes : I.D.1) La matrice est-elle diagonalisable, ou à défaut trigonalisable, dans M()CI ? Donner une forme réduite éventuelle ainsi qu’une matrice de passage.2 I.D.2),, dans M()IR .2 I.E - On cherche les matrices AS de L()Z Z telles que2 2 10A== I .2 01 Concours Centrale-Supélec 2004 2/7 MATHÉMATIQUES II Filière MP I.E.1) Soit A une telle matrice. Montrer que A est diagonalisable dans M()IR et préciser les formes réduites diagonales possibles de A .2 I.E.2) En déduire l’ensemble des matrices solutions A . I.F - On cherche les matrices AS de L()Z Z telles que 2 2 –01A = . 01– I.F.1) Soit A une telle matrice. Montrer que A est diagonalisable dans M()CI et calculer la trace Tr()A de A .2 I.F.2) Donner la forme générale des matrices solutions A en fonction des trois paramètres ab, , c et d’une relation liant ces trois paramètres. I.G - I.G.1) Démontrer que si deux matrices U et V de M()IR sont semblables en2 tant que matrices de M()CI , alors elles sont semblables dans M()IR .2 2 I.G.2) En déduire que les matrices AS de L()Z Z solutions de l’équation :2 2 –01 01– A = sont semblables dans M()IR à la matrice S = .2 01– 10 Partie II - Réseaux de CI On note H le demi-plan ouvert défini par H ={}z ∈ CI : Im()z > 0 . B =()αβ, étant une base de CI considéré comme plan vectoriel réel, on appelle 2réseau engendré par B l’ensemble Λ==Z Z α + Z Z βu α+ v β;(,uv) ∈Z . B Pour simplifier les notations, un réseau sera généralement désigné par la lettre Λ , sans préciser quelle base B de CI l’engendre. II.A - II.A.1) De quelle structure algébrique est doté un réseau Λ ? II.A.2) Démontrer que tout réseau Λ peut être engendré par une base α B =()αβ, de CI telle que --- ∈ H . β 4II.A.3) Démontrer que pour tout quadruplet (,abc,, d)∈Z et pour tout z ∈ CI tel que cz+0d ≠ , on a az + b ad – bc⎛⎞Im ---------------- = ---------------------Im()z .⎝⎠ 2cz + d cz + d Concours Centrale-Supélec 2004 3/7 MATHÉMATIQUES II Filière MP II.B - II.B.1) Démontrer que si deux bases B= (,)ω ω et B′ω=(,)′ω ′ de CI tel-1 2 1 2 les que ω ω′1 1 ------ ∈ H et -------- ∈ H ω ω′2 2 engendrent le même réseau Λ , alors il existe une matrice ω′ ωab 1 ab 1∈ SL()Z Z telle que = .2 cd ω′ cd ω2 2 II.B.2) Étudier la réciproque. II.C - On considère un réseau Λ engendré par une base B =(,)ω ω de CI telle1 2 que ω1------ ∈ H ω2 2Déterminer l’ensemble des couples (,cd) ∈Z tels que B′ω=(,)′ω ′ avec1 2 ω′ = 3 ω + 5 ω et ω′ = c ω + d ω soit une base de CI engendrant également le1 1 2 2 1 2 réseau . Λ II.D - Pour tout complexe τ ∈ CI \ IR on note Λ le réseau engendré par la baseτ (,τ 1) de CI . On suppose que τ ∈ H . Trouver la condition nécessaire et suffisante pour qu’un élément τ′ ∈ H vérifie .Λ = Λτ′ τ Partie III - Similitudes directes de centre O laissant stable un réseau Si Λ est un réseau et z un nombre complexe, on pose z Λ ={}z ρ ;()ρΛ∈ . *On dit que deux réseaux Λ et Λ′ sont semblables s’il existe λ ∈ CI tel que Λ′ = λΛ . III.A - III.A.1) Démontrer que tout réseau Λ est semblable à un réseau Λ où τ ∈ H .τ III.A.2) Démontrer que deux réseaux Λ et Λ , où (,ττ′) ∈ H × H , sont sem-τ τ′ blables si et seulement si il existe une matrice a τ + bab ∈ SL()Z Z telle que τ′ = ---------------- .2 c τ + dcd Concours Centrale-Supélec 2004 4/7 MATHÉMATIQUES II Filière MP La fin de la partie III montre qu’il existe des similitudes directes de centre O , autres que des homothéties, laissant stable un réseau donné Λ . III.B - Soit Λ un réseau. III.B.1) Indiquer, sans faire de démonstration, le lien existant entre l’ensemble S()Λ ={}z ∈ CI ; zΛΛ⊂ et l’ensemble des similitudes directes σ de centre O lais- sant stable le réseau Λ , c’est-à-dire telles que σΛ() ⊂ Λ . III.B.2) Quel est l’ensemble des homothéties de centre O laissant stable le réseau Λ ? En déduire l’ensemble S()Λ ∩ IR . III.B.3) De quelle structure algébrique est doté l’ensemble S()Λ ? III.B.4) B =()ω , ω étant une base de CI , on pose1 2 ω1 ⎛⎞τ = ------ . Comparer les ensembles S Λ et S()Λ .τ⎝⎠ω B2 III.B.5) Quelle relation d’inclusion existe-t-il entre les ensembles S()Λ et Λ ?τ τ III.C - τ étant un complexe de CI \ IR , on considère le réseau Λ engendré par laτ base ()τ, 1de CI. III.C.1) On suppose que l’ensemble S()Λ n’est pas réduit à Z Z . Montrer que ττ est alors racine d’un polynôme du second degré à coefficients dans Z Z . III.C.2) Réciproquement, on suppose que τ est racine non réelle d’un polynôme 2 PX() = uX++vX w du second degré à coefficients ,uvw , dans Z Z. a) Montrer que S()Λ n’est pas contenu dans IR .τ b) Que dire des ensembles S()Λ et Λ si u = 1 ?τ τ Partie IV - Action du groupe Γ des homographies associées à SL()Z Z sur l’ensemble H 2 Dans cette dernière partie, on étudie l’action de ce groupe Γ sur l’ensemble H . On introduit au IV.D un sous-ensemble fondamental F de H . On montre aux questions IV.E et IV.F que Γ est engendré par les homographies st et associées aux matrices ST et introduites au I.D et qu’un système de représentants des orbites de Γ est constitué par les points de F . À toute matrice abA = cd a τ + bde SL()Z Z on associe l’application g : H → CI définie par : ∀ τ ∈ H, g()τ = ---------------- .2 c τ + d Concours Centrale-Supélec 2004 5/7 MATHÉMATIQUES II Filière MP IV.A - IV.A.1) Montrer que l’on a g() H ⊂ H . On identifie dorénavant g avec l’appli- cation de H vers H qu’elle induit. Lorsque la matrice AS parcourt L()Z Z ,2 l’application correspondante g de H vers H décrit un ensemble noté Γ . Dans la suite de cette question on s’intéresse aux propriétés de la surjection SL()Z Z → Γ⎧ 2 Φ: ⎨ Aga⎩ IV.A.2) Montrer que Φ()A o Φ()A ′ = Φ()AA ′ . En déduire que la loi o de com- position des applications est une loi interne sur Γ . IV.A.3) Pour tout AS∈ L()Z Z , montrer que Φ()A est une bijection de H sur2 –1 –1 H et que l’on a []Φ()A = Φ()A . En déduire que ()Γ, o est un groupe. IV.A.4) Montrer que Φ()A = id ⇔[]A = ± I .2H IV.A.5) a) Résoudre l’équation Φ()A ′ = Φ()A . b) En utilisant les matrices ST et définies en I.D, vérifier que le groupe ()Γ, o n’est pas commutatif. IV.B - IV.B.1) Montrer que le cercle C()ω, R de centre ω ∈ CI et de rayon R > 0 a pour équation 2 2 2 z –()ωz + ωz + ω = R . À quelle condition nécessaire et suffisante ce cercle est-il inclus dans H ? IV.B.2) On appelle s l’application de H vers H associée à la matrice 01–S = 10 définie au I.D, c’est-à-dire l’élément s = Φ()S de Γ . Déterminer l’image par s d’un cercle C()ω, R inclus dans H . IV.C - IV.C.1) Trouver l’image par s d’une droite D incluse dans H , c’est-à-dire d’une droite D d’équation y = β , avec β > 0 . IV.C.2)s d’une demi-droite D d’équation+ ⎧x = α , où α ∈ IR , incluse dans H .⎨ y > 0⎩ Concours Centrale-Supélec 2004 6/7 MATHÉMATIQUES II Filière MP IV.D - On introduit le sous-ensemble F de H , défini par ⎧⎫1 F = τ ∈ H : τ ≥1 , Re()τ ≤ --- .⎨⎬2⎩⎭ On appelle t l’application de H vers H associée à la matrice 11T = 01 définie au I.D, c’est-à-dire l’élément t = Φ()T de Γ . Représenter graphiquement –1 –1l’ensemble F et ses images t()F et t ()F par les applications tt et . IV.E - On note G le sous-groupe de Γ engendré par l’ensemble {}st, . Soit τ un élément de H . IV.E.1) Montrer qu’il existe un élément g ∈ G tel que0 ()∀gG∈ Im()gτ ≤ Im()gτ .0 IV.E.2) On pose alors τ′ = gτ . Démontrer qu’il existe un entier m ∈ Z Z tel0 que m 1 Re()tτ′ ≤ --- . 2 m mIV.E.3) Vérifier que t ()τ′ ≥ 1 et en conclure que t ()τ′ ∈ F . IV.F - On peut démontrer le résultat suivant, que l’on admettra ici : si τ ∈ F et si pour un élément g ∈ Γ , avec gi≠d, on a g()τ ∈ F alors τ est un point fron-H tière de F , autrement dit on a 1 Re()τ = ± --- ou τ = 1 . 2 En utilisant ce résultat ainsi que ceux de la section IV.E, démontrer que G = Γ . °Indication : on pourra considérer un point τ intérieur à F (c’est-à-dire τ ∈ F ) et son image g()τ par g ∈ Γ . ••• FIN ••• Concours Centrale-Supélec 2004 7/7
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