CCSE 2004 mathematiques 2 classe prepa tsi

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MATHÉMATIQUES II Filière TSIMATHÉMATIQUES IIDans tout le problème, Π est un plan euclidien orienté rapporté à un repèreorthonormé direct ()O; i, j . On rappelle que les déplacements de Π sont lesrotations et les translations de ce plan. On notera Id l’identité de Π .πLes matrices utilisées dans le problème sont réelles. On note M()IR l’ensemblendes matrices carrées à n lignes.tOn désigne par A la transposée de la matrice A .Si A est une matrice carrée, on désigne par det ()A son déterminant et siAM∈ ()IR , on convient d’appeler écriture de A par blocs l’écriture3PQA = ,RSq1où PM∈ ()IR , Q est de la forme , R est de la forme , et S est de lar r2 1 2q2forme []s, avec , q ,q r, r, s réels.1 2 1 2La matrice identité de M()IR est notée I .2Partie I - Questions préliminairesI.A - Les matrices AA, ′ et leur produit AA ′ appartiennent à M()IR ; on les3écrit par blocs : PQ P ′ Q ′ XYA = A ′ = AA ′ =RS R ′ S ′ ZTI.A.1) En prélevant dans les matrices AA et ′ les termes utiles, calculer lesdeux termes de la matrice YY et montrer que =PQ′ + QS ′ .Des calculs analogues prouveraient que PP ′ + QR ′ PQ ′ + QS ′AA ′ = , ce que l’on admettra.RP ′+ SR ′ RQ ′ + SS ′I.A.2) Donner sans justification l’écriture par blocs de la transposée de A .Concours Centrale-Supélec 2004 1/7MATHÉMATIQUES II Filière TSIFilière TSII.B - 2I.B.1) On suppose que le couple ()X , X forme une base orthonormée de IR1 2et que X et X sont des vecteurs propres pour une certaine ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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MATHÉMATIQUES II Filière TSI MATHÉMATIQUES II Dans tout le problème, Π est un plan euclidien orienté rapporté à un repère orthonormé direct ()O; i, j . On rappelle que les déplacements de Π sont les rotations et les translations de ce plan. On notera Id l’identité de Π .π Les matrices utilisées dans le problème sont réelles. On note M()IR l’ensemblen des matrices carrées à n lignes. tOn désigne par A la transposée de la matrice A . Si A est une matrice carrée, on désigne par det ()A son déterminant et si AM∈ ()IR , on convient d’appeler écriture de A par blocs l’écriture3 PQ A = , RS q1où PM∈ ()IR , Q est de la forme , R est de la forme , et S est de lar r2 1 2q2 forme []s, avec , q ,q r, r, s réels.1 2 1 2 La matrice identité de M()IR est notée I .2 Partie I - Questions préliminaires I.A - Les matrices AA, ′ et leur produit AA ′ appartiennent à M()IR ; on les3 écrit par blocs : PQ P ′ Q ′ XYA = A ′ = AA ′ = RS R ′ S ′ ZT I.A.1) En prélevant dans les matrices AA et ′ les termes utiles, calculer les deux termes de la matrice YY et montrer que =PQ′ + QS ′ . Des calculs analogues prouveraient que PP ′ + QR ′ PQ ′ + QS ′AA ′ = , ce que l’on admettra. RP ′+ SR ′ RQ ′ + SS ′ I.A.2) Donner sans justification l’écriture par blocs de la transposée de A . Concours Centrale-Supélec 2004 1/7 MATHÉMATIQUES II Filière TSI Filière TSI I.B - 2I.B.1) On suppose que le couple ()X , X forme une base orthonormée de IR1 2 et que X et X sont des vecteurs propres pour une certaine matrice B appar-1 2 tenant à M()IR . Montrer que le couple ()–X , X a les mêmes propriétés.2 1 2 I.B.2) Soit SM∈ ()IR , qu’on suppose symétrique. Justifier l’existence dans2 M()IR de trois matrices, NL,,D , avec NL et orthogonales et D diagonale, tel-2 t tles que SN= D N = LD L , où L est obtenue en remplaçant dans N la première colonne par son opposée. I.B.3) En comparant det ()N et det ()L , montrer que l’une des deux matrices NL ou est de la forme cos θ –sin θ R()θ = sin θ cos θ I.C - Soit RR une matrice de la forme ()θ précédente, différente de I . Montrer que RI– est inversible. Partie II - Le Groupe G À tout triplet ()θ,,pq de nombres réels, on associe la matrice cos θ –sin θ p M()θ,,pq = sin θ cos θ q 001 et son écriture par blocs, notée R()θ Tp(),q RT, abrégée en , 0 []1 0 1 où les deux termes de la sous-matrice uniligne 0 sont nuls. On appelle G l’ensemble des matrices de la forme M()θ,,pq. Concours Centrale-Supélec 2004 2/7 MATHÉMATIQUES II Filière TSI II.A - II.A.1) Calculer le déterminant de M()θ,,pq. II.A.2) La matrice M()θ,,pq est-elle orthogonale ? II.B - II.B.1) Calculer le produit M()θ,,pq ⋅ M()θ′,,p ′ q ′ de deux matrices de G. Montrer que ce produit appartient à G . II.B.2) Le triplet ()θ,,pq étant donné, comment choisir ()θ′,,p ′ q ′ pour que le produit précédent soit la matrice identité I ?3 II.B.3) Montrer que, lorsqu’on le munit de la multiplication, l’ensemble G est un groupe. II.C - II.C.1) Montrer que le polynôme caractéristique de M()θ,,pq est le produit de deux polynômes à coefficients réels, que l’on précisera. II.C.2) On suppose que RI≠ . a) Déterminer, selon les valeurs de θ , les valeurs propres réelles de M()θ,,pq. b) Quelle est la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre 1 ? x0 Trouver un vecteur propre de la forme associé à la valeur propre 1. On don-y0 1 x –10nera de une expression matricielle utilisant TI et ()–R . y0 II.D - Chaque point P de Π est repéré par ses coordonnées (,xy) dans le repère ()O ; ij, . II.D.1) Quelles sont les coordonnées (,x ′ y ′) de l’image P ′ de P par la transla- tion de vecteur Tp= iq+ j ? II.D.2) Le point P de Π et le réel θ sont fixés. On désigne par r la rotation0 de centre P et d’angle θ . Soit P ′ l’image de P par r .0 Exprimer les coordonnées (,x ′ y ′) de P ′ en fonction de xy, , θ , et des coordonnées ()x , y de P .0 0 0 Concours Centrale-Supélec 2004 3/7 MATHÉMATIQUES II Filière TSI II.D.3) Montrer que, dans II.D.2) comme dans II.D.1), on peut trouver dans G une matrice M , que l’on précisera dans chacun des deux cas, telle que x ′ x = M .y ′ y 1 1 II.D.4) a) Réciproquement, les réels θ,,pq,x,y étant donnés, calculer le produit matri- x ciel .M()θ,,pq y 1 x ′ b) Ce produit est de la forme . y ′ 1 Montrer que le point P ′ de Π , de coordonnées (,x ′ y ′), est l’image du point P , de coordonnées ()xy, , par un déplacement. c) Lorsque ce déplacement est une rotation de centre P()x , y différente de0 0 0 l’identité de Π , on pose x –10V = . Montrer que V =()IR– T .P P0 0y0 Partie III - Le groupe G et les matrices symétriques Dans cette partie, on introduit l’ensemble S des matrices symétriques de M()IR , donc de la forme générale 3 a b d . bce def Une telle matrice sera notée Q()a,,bcd,,e,f , ou Q de façon abrégée. Soit Q une matrice appartenant à S. On appelle transformée de Q toute tmatrice de la forme MQM , où M est une matrice appartenant à l’ensemble G défini dans la partie II. III.A - Soit Q S . III.A.1) Montrer que toutes les transformées de Q appartiennent à S . III.A.2) Montrer que QQ est une transformée de . Concours Centrale-Supélec 2004 4/7 MATHÉMATIQUES II Filière TSI III.A.3) Montrer que si Q ′ est une transformée de QQ, alors est une transfor- mée de Q ′ . III.A.4)Q ′ et ″ une transformée de Q ′ , alors Q ″ est une transformée de Q . Pour les questions qui suivent, on pourra utiliser les résultats de la partie I.A. III.B - À toute matrice Q()a,,bcd,,e,f , on associe les réels : 2 p()Q =ac+ ; pQ = ac – b ; p()Q = det ()Q1 2 3 et la matrice : a bSQ() = . b c tIII.B.1) Pour M ∈ G , associée à θ,,pq, écrire S()MQM comme un produit de trois matrices. III.B.2) En déduire que, pour toute transformée Q ′ de Qp, on a ()Q = p()Q ′1 1 et .p()Q = p()Q ′2 2 III.B.3) Montrer que,Q ′ de , on a ()Q = p()Q ′ .3 3 Les nombres réels p()Q,,p()Q p()Q sont appelés les invariants de Q . 1 2 3 Dans la suite de cette section, on se propose, en considérant divers cas pour les invariants de QQ, de trouver, dans chaque cas, une transformée simple de . III.C - III.C.1) Montrer que, parmi les transformées de Q()a,,bcd,,e,f , il y a une matrice de la forme Q()λ,,0 µ,d ′, e ′, f ′ , qu’on notera Q ′ dans la suite, (on pourra utiliser I.B.3) et III.B.1)). III.C.2) Calculer pQ et pQ en fonction de λ et µ .1 2 III.C.3) Montrer que, si pQ est nul, on peut, en précisant le choix de Q ′ ,2 faire en sorte que µ soit nul. III.D - Pour M ∈ G , de la forme M()0,,pq, calculer les termes non diagonaux tde .MQ ′M Concours Centrale-Supélec 2004 5/7 MATHÉMATIQUES II Filière TSI III.E - Étude des différents cas III.E.1) Premier cas : p()Q est non nul.2 Montrer que, parmi les transformées de Q ′ , il y a une matrice Q ″ diagonale dont le troisième terme diagonal est nécessairement p()Q ⁄ p()Q .3 2 III.E.2) Deuxième cas : p()Q est nul.2 a) Premier sous-cas : p()Q et p()Q sont non nuls.1 3 Montrer que, parmi les transformées de Q ′ , il y a la matrice Q()λ,,,,000e ′,0 . b) Deuxième sous-cas : p()Q est non nul et p()Q est nul.1 3 Montrer que,Q ′, il y a une matrice de la forme Q()λ,,,,,0000f ″ . c) Troisième sous-cas : p()Q est nul.1 Montrer que ab, et c sont nuls. Partie IV - Application aux coniques Les coefficients réels ()abcd,,,,e,f étant fixés, on considère la courbe du plan Π , qui admet, dans le repère O; i, j l’équation cartésienne : 2 2 ax++2bxy cy+2dx+2ey+f =0, Cette courbe est notée Cabcd,,,,e,f , ou C , de façon abrégée. L’ensemble des courbes C est noté F . IV.A - Étude d’un exemple On pose H= C()01, ⁄200,,, –1 ⁄2, –1 et H = C()10,, –100,,, –2.1 2 Représenter sur un même dessin les courbes H et H ainsi que leurs asymp-1 2 totes. Dans la suite, on associe au point P de coordonnées xy, la matrice x P = y1 1 et à la matrice Q()a,,bcd,,e,f définie dans la partie III la courbe C()abcd,,,,e,f . Concours Centrale-Supélec 2004 6/7 MATHÉMATIQUES II Filière TSI IV.B - Trouver une condition nécessaire et suffisante, portant sur le produit tmatriciel P QP , pour que le point P soit sur la courbe C associée à la matrice1 1 Q . IV.C - Soit dd un déplacement du plan, ()P l’image par dP du point et M la matrice, appartenant à G , définie dans II.D.3), qui est associée à d . IV.C.1)fisante, liant les matrices P ,1 MQ et et leurs transposées, pour que le point d() soit sur la courbe C asso- ciée à la matrice Q . IV.C.2) En déduire que la courbe C de F , associée à Q de S , est l’image par d d’une courbe C ′ de F , associée à une matrice Q ′ de S , que l’on préci- sera. IV.C.3) Montrer que Q ′ est, suivant la définition donnée dans la partie II, une transformée de Q . IV.D - En utilisant III.E, montrer que toute courbe C de F est l’image, par un certain déplacement, d’une courbe C de F d’équation simple.1 IV.E - Montrer que si C est associée à la matrice Q , elle est aussi associée à αQ , pour tout α non nul. Exemple : montrer, en utilisant III.E.1), que H est l’image de H par un1 2 déplacement que l’on ne cherchera pas à expliciter. ••• FIN ••• Concours Centrale-Supélec 2004 7/7
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