CCSE 2006 mathematiques 1 classe prepa psi

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D aprŁs centrale PSI - 2006Øpreuve 1Notations et dØ…nitions. p2 2 2- R est muni de la norme k(x;y)k = x +y .+ + 1 +- OnnoteC(R ;R)el nsembledesfonctionscontinuesde R dansRetL l ensembledesfonctions f 2C(R ;R)intØgrablesZ +1+ 1surR . Si f 2L , on pose kfk = jfj.10+ +- On note B l ensemble des fonctions f 2C(R ;R) bornØes surR . Si f 2B, on pose kfk = supjfj.1+R + - Si 2 [1;+1[, on convient que 0 = 0 ; ainsi, t2R 7!t est continue.Z +11- On pose, lorsque cela a un sens, I() = dt.1+t0+- Si 2 [1;+1[ et h est une fonction continue deR dansR, on note E l Øquation di⁄Ørentielle linØaire ;h100 0(E ) : y y +y =h ;h 1+t+ 2Par dØ nition, une solution de (E ) est une fonction deR dansR de la variable t de classe C vØri…ant (E ). ;h ;h1=- Dans tout le problŁme on notera q la fonction dØ…nie par : 8t2R , q(t) = et Q la primitive nulle en 0 de q .1+t- Pour une Øquation di⁄Ørentielle linØaire du second ordre (E), de second membre h, on dØ nit les propriØtØs de stabilitØsuivantes :–on dira que (E) est stable par rapport aux conditions initiales si et seulement si pour tout " > 0, il existe0 > 0 tel que si f est une solution de (E) vØri…ant k(f(0);f (0))k, alors f 2B et kfk ".1–on dira que (E) est stable par rapport au second membre au sens 1 si et seulement si pour tout " > 0, il1 0existe > 0 tel que si h 2 L est tel que khk et f est solution de (E) vØri…ant (f(0);f (0)) = (0;0), alors1f 2B et kfk ".1–on dira que (E) est stable par rapport au ...
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Daprès centrale PSI - 2006 épreuve 1 Notations et dénitions. p 2 2 2 -Rest muni de la normek(x; y)k=x+y. + +1 + - OnnoteC(R;R)lensemble des fonctions continues deRdansRetLlensemble des fonctionsf2 C(R;R)intégrables Z +1 + 1 surR. Sif2L, on posekfk1=jfj. 0 + + - OnnoteBlensemble des fonctionsf2 C(R;R)bornées surR. Sif2B, on posekfk1= supjfj. + R +- Si2[1;+1[, on convient que0 =0; ainsi,t2R7!test continue. Z +1 1 - Onpose, lorsque cela a un sens,I() =dt. 1 +t 0 + - Si2[1;+1[ethest une fonction continue deRdansR, on noteE;hléquation di¤érentielle linéaire 1 00 0 (E;h) :yy+y=h 1 +t + 2 Par dénition, une solution de(E;h)est une fonction deRdansRde la variabletde classeCvériant(E;h). 1 = - Danstout le problème on noteraqla fonction dénie par :8t2R,q(t) =etQla primitive nulle en0deq. 1 +t - Pourune équation di¤érentielle linéaire du second ordre(E), de second membreh, on dénit les propriétés de stabilité suivantes : on dira que(E)eststable par rapport aux conditions initialessi et seulement si pour tout" >0, il existe 0  >0tel que sifest une solution de(E)vériantk(f(0); f(0))k , alorsf2Betkfk1". on dira que(E)eststable par rapport au second membre au sens 1si et seulement si pour tout" >0, il 10 existe >0tel que sih2Lest tel quekhk1etfest solution de(E)vériant(f(0); f(0)) = (0;0), alors f2Betkfk1". on dira que(E)eststable par rapport au second membre au sens1si et seulement si pour tout" >0, il 10 existe >0tel que sih2Lest tel quekhk1etfest solution de(E)vériant(f(0); f(0)) = (0;0), alors f2Betkfk1". De plus, dans le cas de léquation(E;0): 2 on dira que(E)eststable par rapport au paramètresi et seulement si pour tout(a; b)2Ret" >0, il existe >0sitel que :2[1;+1[vériejj ,fest solution de(E;0)etgest solution de(E;0)avec 0 0 (f(0); f(0)) = (g(0); g(0)) = (a; b), alorsfg2Betkfgk1". Objectifs et dépendances des parties. - Lobjectifdu problème est détudier le comportement des solutions de(E;0)vers+1, ainsi que di¤érentes notions de stabilité. 00 - LapartieIétudie le cas de léquation limite à linni"y+y=h. - LapartieII, indépendante deI, étudie le comportement à linni des solutions de(E;0)pour >1. - LapartieIII, qui étudie les problèmes de stabilité pour >1, utilise des résultats deIIA,II:CetI:5. - LapartieIVqui étudie le comportement à linni des solutions de(E1;0)utiliseII:B. - LapartieV, qui étudie les problèmes de stabilité pour= 1, utilise les partiesIVetII. 00 Partie I. Etude de léquationy+y=h. +00 Sih2 C(R;R), on note(Fh)léquation di¤érentielley+y=h. Pardénition, une solution de(Fh)est une fonction de 2 + classeCdeRdansRvériant(Fh)? I.A. A.1. Donnerlensemble des solutions de(F0).
A.2. Danscette question uniquement, on prend pourh:x7!cos(x). Donnerlensemble des solutions de(Fh)dans ce cas. A.3. Danscette question uniquement, on prend pourhla fonction2périodioque dénie sur[0;2]par sin(x)six2[0; ] h(x) = 0six2[;2] 0 ) = 0 On notefpla solution particulière vériantfp(0) =fp(0 + Démontrer quehest continue surR Montrerg;dénie parg(x) =fp(x+ 2)fp(x)est solution de(F0) + En déduire quil existe deux scalairesaetbtels que :8x2R:fp(x+ 2) =fp(x) +acos(x) +b(sin(x) Calculerfpsur[0;2]En déduireaetb. I.B.Stabilité par rapport aux conditions initiales. 20 Si(a; b)2Retfest la solution de(F0)vériant(f(0); f(0)) = (a; b), montrer quef2Betkfk1 k(a; b)k. Z t + + I.C. Sih2 C(R;R), montrer quef0:t2R7!h(u) sin(tu)duest solution de(Fh)et en déduire lensemble des 0 solutions de(Fh). I.D.Stabilité par rapport au second membre au sens 1. 10 On donneh2L. Déterminerla solutionfde(Fh)vériant(f(0); f(0)) = 0, montrer quef2Betkfk1 khk1. En déduire que(Fh)est stable par rapport au second membre au sens1. I.E.Stabilité par rapport au second membre au sens1. 00 Soit >0léquation di¤érentielle. Résoudrey+y=cos(t)et montrer que ses solutions sont non bornées, et plus précisément, ne sont pas eno(t)quandt!+1. En déduire la non stabilité de(F0)par rapport au second membre au sens1. Partie II. Comportement à linni des solutions de(E;0)pour >1. II.A. Démontrerlexistence deI(), pour >1, et sa continuité par rapport à. II.B.Relèvement angulaire. +k On donneg:R!Cda classeC,k1. 0 g A B.1. Justierlexistence dune primitiveAde etmontrer quegeest constante. g B.2. Enécrivant la fonctionAsous la formeA=B+iC, oùBetCsont des fonctions à valeurs réelles, justier quexistent k+k+i r2 C(R;R)et2 C(R;R)tels queg=re. + II.C.Comportement à linni pour >1. Soit >1etfune solution non nulle de(E;0). 1 +1 +0 C.1. EnappliquantII:B, montrer quexistentr2 C(R;R)et2 C(R;R)telles quef=rcos()etf=rsin(). + 0 Exprimerren fonction defetf. Les fonctionsretsont xées ainsi pour la suite de cette partie. C.2. Démontrerque 0 0 rsin() +rcos() =qrsin()rcos() 0 0 rsin () =rsin() +rcos() C.3. Endéduire que : 0 =1 +qsin() cos() : 02 r=qrsin(): C.4. Q Montrer quereest décroissante. En déduire quera une limite strictement positive en+1vériantlimrr(0) exp(I()). +1 0 0 Démontrer quefetfsont bornées park(f(0); f(0))kexp(I()). + C.5. Montrerquet> qsin () cos ()surest intégrableR En déduire que(t) +ttend vers une limite réelle quandt!+1.
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C.6. Démontrerquexistenta2Retb2Rtels quef(t)acos(t+b)!t!+10. + C.7. Tracerlallure du graphe defvers+1. Partie III. Etude de la stabilité pour >1. Dans toute la partie, >1, et(f1; f2)est un système fondamental de solutions de(E;0). f1f2 w=0 0est le wronskien associé. f f 1 2 On pensera à utiliser les résultats deII. III.A.Stabilité par rapport aux conditions initiales. Démontrer que(E;0est stable par rapport aux conditions initiales. III.B.Stabilité par rapport au second membre au sens 1. B.1. Déterminer une équation di¤érentielle vériée parw, exprimerwen fonction deQet en déduire quil existea; b + réels tels que pour toutx2R,0< a jw(x)j b. + B.2. Sih2 C(R;R), montrer que les solutions de(E;h)sont les fonctions du typef=C1f1+C2f2, oùC1est une hf hf 2 1 primitive deetC2une primitive de. w w B.3. Quelles sont les conditions nécesaires et su¢santes requises surC1etC2dans la question précédente pour avoir 0 (f(0); f(0) = (0;0)? + 10 B.4. Démontrerlexistence deC2Rpour touttelle que :h2L, la solutionfde(E;h)vériant(f(0); f(0)) = (0;0) est dansB, etkfk1Ckhk1. Endéduire que(E;0)est stable par rapport au second membre au sens 1. III.C.Instabilité par rapport au second membre au sens1. On xe2R. + 00 Soitgsolution dey+y=cos(t). 1 +000 0 Soitfla solution surRdeyy+y=cos(t)telle que(f(0); f(0)) = (0;0). Onpose =fg. 1 +t + C.1. Démontrerqueest solution de(E;h)pour une fonctionh2 C(R;R)vérianth(t)!t!+10. (hdépend deg et deq) Z t C.2. Démontrerqueh(t)!t!+10implique quejhj=t!+1o(t).(on écrira que la limite dehest nulle en revenant 0 à la dénition avec des quanticateurs) C.3. Utilisantla résolution de(E;h)vue enIII:B, montrer que(t) =t!+1o(t). C.4. Démontrerque(E;0)nest pas stable par rapport au second membre au sens1. III.D.Stabilité par rapport au paramètre. 2 On xe pour la suite de la question(a; b)2R. Soit2]1;+1[. 0 0 Soitfla solution de(E;0)vériant(f(0); f(0)) = (a; b),gla solution de(E;0)vériant(g(0); g(0)) = (a; b). On pose =fg. Z Z 1 +1 dt dt Si >1, on poseJ() =etK() =.   1 +t1 +t 0 1 Comme pourI, les fonctionsJetKsont bien dénies et continues sur]1;+1[(on ne demande pas de le montrer). D.1. Démontrerqueest une solution de léquation di¤érentielle(E;h)avec   1 1 0 h:t7! g(t)   1 +t1 +t 1 D.2. Démontrerqueh2Let I() khk1 k(a; b)ke(jJ()J()j+jK()K()j) D.3. Démontrerque(E;0)est stable par rapport au paramètre. Partie IV. Etude du comportement vers+1pour= 1. fest une solution non nulle de(E1;0). f(t) + On poseg:t2R7! p. t+ 1
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  3 00 IV.A. Etablirque pour toutt0,g(t) +1g(t) = 0. 2 4(1 +t) 2 +2 + +0 IV.B. Démontrerquexistent2 C(R;R)et2 C(R;R)telles queg=cos()etg=sin() + IV.C. Déterminerune équation di¤érentielle vériée paret montrer que(x) +xtend vers une limite réelle lorsquex!+1. IV.D. Déterminerune équation di¤érentielle vériée paret démontrer quetend vers une limite réellea >0en+1. p p IV.E. Démontrerquil existe un réelbtel quef(t)a tcos(t+b)=t!+1o(t), oùaest le réel déni ci-dessus. IV.F. Tracerlallure du graphe defvers+1. Partie V. Etude de la stabilité pour= 1. V.A. Démontrerque(E1;0)nest pas stable par rapport aux conditions initiales et au paramètre. 1 00 0 calculerf(x)f x) +f(x)déduire concernant la stabilité de. Quen(E)par V.B. Si2Retf:x7!xsin(x), (1;0 1 +x rapport au second membre au sens1?
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