CND 2003 mathematiques commune

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SESSION 2003 CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve commune concours Physique et concours Chimie MATHEMATIQUES PARTIE I Durée : 2 heures Les calculatrices sont autorisées. NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. Les trois exercices sont indépendants. Dans toutes les questions, il sera tenu le plus grand compte de la rigueur de la rédaction ; toute réponse insuffisamment justifiée sera considérée comme nulle. n 1Exercice I – Un développement asymptotique de H = . n ∑ kk=1 1. Un équivalent de H n n 1 Soit n un entier naturel non nul, on pose H = . n ∑ kk=1k+ 11 1 1a. Si k est un entier non nul, montrer que : ≤ dt ≤ . ∫kk + 1 t k1b. En déduire l’encadrement suivant : ln n+ ≤ H ≤ ln n+ 1. nnc. Donner un équivalent de H en + ∞ . n 2. Suites adjacentes Soit deux suites de réels (v ) et (w ) adjacentes c’est-à-dire que : n n )(v est croissante, (w ) est décroissante et lim (v − w ) = 0 . n n n nn→+∞a. Montrer qu’il existe un entier naturel n tel que, pour tout entier n≥ n, 1v ≤ w + . 0 0 n n En déduire que la suite (v ) est majorée. nb. Montrer de même que la suite (w ) est minorée. nc. En ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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SESSION 2003 CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve commune concours Physique et concours Chimie MATHEMATIQUES PARTIE I Durée : 2 heuresLes calculatricessont autorisées.NB :Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. Les trois exercices sont indépendants. Dans toutes les questions, il sera tenu le plus grand compte de la rigueur de la rédaction; toute réponse insuffisamment justifiée sera considérée comme nulle. n 1 ExerciceI –Un développement asymptotiquHn.e de= k=1k 1.Un équivalent deHnn 1  Soitnun entier naturel non nul, on poseH=. n k=1k k+1 1 11 a.Sikest un entier non nul, montrer que :dt.k k+1t k 1 b.En déduire l’encadrement suivant :lnn Hnlnn+1. + ≤ n c.Donner un équivalent deHnen. 2.Suites adjacentes  Soitdeux suites de réels(v) et (w) adjacentesc’estàdire que : n n  (v() est croissante,w) est décroissante etlim (vw)=0 . n nn n n→+∞ a.Montrer qu’il existe un entier naturelntel que, pour tout entiernn,vw+1 . 0 0n n  Endéduire que la suite(vmajorée.) est n b.Montrer de même que la suite(wminorée.) est n c.En déduire que les suites(vn) et (wn) sontconvergentes et convergent vers une même limite réelle. Tournez la page S.V.P.
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3.Constante d’Euler 1  Onpose, pourn1,c=Hlnnetd=c. n nn n n 1 1 a.Montrer que, pourn1,ln(n+1)lnn. n+1n b.Montrer que les suites(c) et (dvers une même limite.) convergent n n  Onnote alorscette limite (est appelée constante d’Euler). c.Montrer que :Hlnn+ +o(1) . n ExerciceII– Endomorphismesf vérifiant : Kerf=Imf. A. Propriétés 1.SoitEunespace vectoriel de dimensionnet soitfun endomorphisme deEvérifiant :  Kerf= Imf. a.Montrer que nécessairementnest un entier pair et déterminer le rang defen fonction den. b.Montrer que, pour tout vecteurxdeE,(f!f)(x)=0 . 2.Soitfun endomorphisme deEvérifiantf!f=0 etdimE= 2 rang (f). a.Montrer que ImfKerf. b.En déduire que Kerf= Imf. B. Cas général * Soitn, soitEunespace vectoriel de dimensionnet soitfun endomorphisme deEde rangpvérifiant Kerf= Imf. 3.Donnerpen fonction den. 4.SoitF unsupplémentaire de Kerf dansE, soit(e,e, ...,e) unebase deFsoit et 1 2p (e' ,e...,' ,e' )une base de Kerf. 1 2p a.Que peuton dire de la famille(e,e, ...,e,e' ,e...,' ,e' )? 1 2p1 2p b.Montrer que la famille(f(e1),f(e2), ...,f(epune base de Im)) estf. c.Posons, pour tout entiericompris entre 1 etp,ep+if(ei) ;calculerf(ep+i) . = d.(Montrer que la famillee1,e2, ...,ep,ep+1, ...,e2p) estune base deEet écrire la matrice de fdans cette base.
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C. Application SoitEunespace vectoriel de dimension 4 de baseB=(e,e,e,e) etsoitfun endomorphisme 1 2 34 deEdont la matrice dans la baseBest : 011 0  − − 1 00 1A=  1 0 0 1   0 1 1 0   5.Déterminer, en fonction des vecteurs de la baseB, une base de Kerfet une base de Imfet, sans aucun calcul, déterminerA². 6.Montrer qu’il existe une baseBdeEdans laquelle la matrice defest triangulaire. 7.Déterminer les vecteurs d’une telle baseBen fonction des vecteurs de la baseB. ExerciceIII– Règle de RaabeDuhamel etvdeux séries à termes strictement positifs telles qu’il ex 1.Soitunnisten∈ vérifiant : 0 v un+ +1n1 ∑ ∑ nn,, montrer que : sivconverge alorsuconverge. 0n n u v n n 2.Soitβ(un réel non nul etunsuite de réels strictement positifs satisfaisant à :) une uβ1 n+1 =1− +o.( ) u nn n 1 a.Montrer que, si l’on pose, pourn1et réel>0,v=, on a : nα n v uβ − α1 n+1n+1 +− =o( ). v un n n n b.Siβ >1 ,montrer que la sérieuconverge. (On pourra choisir le réelα]1,β[) n c.Siβ <que la série1, montrerudiverge. n 3.Déterminer, en utilisant la règle de RaabeDuhamel (résultats2bet2ccidessus), la nature des séries de terme généralu: n (2n) ! a.u=. n 2n2 2 (n!) a(a+1)...(a+n1) b.u=aetbsont deux réels qui ne sont pas des entiers négatifs. n b(b+1)....(b+n1) (On discutera selon la valeur deba)Fin de l’énoncé.
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