CND 2003 mathematiques specifique

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SESSION 2003 CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve spécifique concours Physique MATHEMATIQUES PARTIE II Durée : 2 heures Les calculatrices sont autorisées. NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. npNombres et polynômes de Bernoulli, applications au calcul de ζ(2k) et k . ∑k=1 Notations +∞ 1On pose pour tout réel x > 1, ζ(x) = . ∑ xnn=1![]X est la ! -algèbre des polynômes à coefficients réels. ![]X est le ! -espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à nn. Objectifs Le but du problème est de calculer les valeurs de ζ(2k) où k est un entier non nul (paragraphe II) npainsi que les sommes k où p et n sont des entiers naturels non nuls (paragraphe III). ∑k=1Pour cela, on utilisera les polynômes et nombres de Bernoulli étudiés dans le paragraphe I. Les formules à établir au paragraphe I peuvent être utilisées sans démonstration aux paragraphes II et III. Les paragraphes II et III sont indépendants. Tournez la page S.V.P. 2 I – Polynômes et nombres de Bernoulli On dit qu’une suite (B ) de ![]X est une suite de polynômes de ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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SESSION 2003 CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve spécifique concours Physique MATHEMATIQUES PARTIE II Durée : 2 heuresLes calculatricessont autorisées. NB :Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. n p Nombres et polynômes de Bernoulli, applications au calcul de(2 )etk.k=1 Notations +∞ 1 x On pose pour tout réelx>1,ζ(x)=. n=1n ![X]est la!algèbre des polynômes à coefficients réels. !n[X]est le!espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n. Objectifs Le but du problème est de calculer les valeurs de(2k) oùkest un entier non nul (paragraphe II) n p ainsi que les sommeskpetnsont des entiers naturels non nuls (paragraphe III). k=1 Pour cela, on utilisera les polynômes et nombres de Bernoulli étudiés dans le paragraphe I. Les formules à établir au paragraphe I peuvent être utilisées sans démonstration aux paragraphes II et III. Les paragraphes II et III sont indépendants. Tournez la page S.V.P.
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I –Polynômes et nombres de Bernoulli On dit qu’une suite(B) de![X] estune suite de polynômes de Bernoulli si elle vérifie les n propriétés suivantes notées(P): 1 ==∀ ≥ {B01,n":B'n+1Bnetn2:Bn(1)=Bn(0)}(P1)1. Soit(Bsuite de polynômes de Bernoulli.) une n 2 1X X1 = a.Montrer que nécessairementB(X)=XetB2(X)− +. 1 2 22 12 b. DéterminerB3etB. 4 2. Lebut de cette question est de montrer qu’il existe une et une seule suite de polynômes qui vérifie les propriétés(P). 1 a.SiPest un polynôme de![X], montrer qu’il existe un et un seul polynômeQde!X]tel que : 1 Q'=P etQ(t) dt=0. 0  Onnote alorsLl’application de![X]vers!X]qui àPassocieQ. b.Montrer qu’une suite de polynômes( )vérifie(P) siet seulement si elle vérifie la n1 propriété suivante notée(P): 2 B1 etBB L)} {0=n",n+n(P)12 c.En déduire qu’il existe une unique suite de polynômes vérifiant les propriétés(P1).  Onnotera cette suite( )et on l’appelleralasuite de polynômes de Bernoulli. n n 3. Déduirede la question2., que pour tout entier natureln,n(X)=(1)Bn(1X) . = 4. Onpose, pour toutn,bnBn(0) ;bnest le(n+nombre de Bernoulli.1) ième a.Calculerb,b,b,b,b. 0 1 2 3 4 b.Montrer que pour tout entier impairn3,b=0 . n II –Application au calcul de(2k)Soitkun entier naturel non nul. On définit l’applicationgde!vers!par : k x g(x)=B( )pourx[0, 2π[etgest périodique de période2π. k2k k 2π 1 5.on pose Siα(k)=B(t) dt0 0 2k 1 1 et pourn1,α(k)=2B(t) cos(2πn t) dtetβ(k)=2B(t) sin(2πn t) dt00 n2k n2k
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+∞ montrer que pour tout réelxon a :g(x)= α(k)+(α(k) cos(n x)+ β(k) sin(n x)). k0n n n=1 6.Calculerα(k) . 0 2 7. a.Montrer que pour toutn1,α(1)=. n 2 (2πn) 1 α =α − b.Montrer que pour toutn1et toutk2,n(k)2n(k1). (2πn) c.déduire pour tout Enn1et toutk2, la valeur deαn(k) . 8.Montrer sans calcul que pour toutn1et toutk1,β(k)=0 . n 9. a.Déterminer, pourk1(2, une relation entrek) etb2k. +∞ +∞ 1 1 b.Calculer et. 24 n=1nn=1n n p III –Application au calcul dekk=1 10.Soitpun entier naturel, on définit l’applicationde![X]vers![X]par : p+1p+1 (P)=P(X+1)P(X) . a.Montrer queest un endomorphisme de!p+1[X]. b.Déterminer Ker. c.Montrer queI!p[X]. ∆ =11.En d!p+1tel éduire que pour tout entier naturelp, il existe un et un seul polynômeQdeX] p 1 X que :(Q)=etQ(t) dt=0. 0 p! 12.Montrer que ce polynômeQest en faitB. p+1 n p 13.En déduire que pour tout entierptout entier1 etn1,=!(( 1)). Bk pp+1n+ −bp+1 k=1 n n 2 3 14.Calculerketk. ∑ ∑ k=1k=1 Fin de l’énoncé.
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