CND 2004 mathematiques commune

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SESSION 2004 CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve commune concours Physique et concours Chimie MATHEMATIQUES PARTIE I Durée : 2 heures Les calculatrices sont autorisées. NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. Les deux exercices sont indépendants. Exercice I – Etude de séries dont le terme général est le reste d’une série convergente. Soit n un entier naturel fixé. Soit a une série convergente. On définit pour n entier naturel 0 ∑ nnn≥ 0+∞supérieur ou égal à n , r son reste de rang n : ra= . 0 n nk∑kn=+ 1Le but de l’exercice est d’étudier la convergence de la série r dans trois exemples différents. ∑ nnn≥ 0 Exemple 1 11. On pose pour na≥=0, . n n2Calculer r puis montrer que r converge et calculer sa somme. ∑n nn ≥0 Exemple 2 12. On pose pour na≥=1, . n 2n Nous allons chercher un équivalent de r . ( )n Soit k un entier supérieur ou égal à 1. Tournez la page S.V.P. 2111a. Montrer que ∀∈tk,1k+, ≤ ≤. [] 2 22tkk +1()b. En déduire que pour tout entier naturel non nul n et pour tout entier N supérieur à 2 et à N+1NN1d t 1n +1, on a : ≤≤ . ∑ ∑2 ∫22tkkn=+11k +1 kn=+() n +1c. n, on a ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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SESSION 2004
CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve commune concours Physique et concours Chimie MATHEMATIQUES PARTIE I Durée : 2 heures
Les calculatrices sontautorisées.NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil a été amené à prendre.Les deux exercices sontindépendants. Exercice I  Etude de séries dont le terme général est le reste dune série convergente.
Soitn0 un entier naturel fixé. Soitanune série convergente. On définit pourn entier naturel nn0 +∞ supérieur ou égal àn0,rnson reste de rangn:rn=ak. k=n+1
Le but de lexercice est détudier la convergence de la sérierndans trois exemples différents. nn0 Exemple 1 1.On pose pourn0,an=12n. Calculerrnpuis montrer quernconverge et calculer sa somme. n0 Exemple 2 2. 1 1,On pose pour nan=2. n  Nous allons chercher un équivalent de(rn).  Soitkun entier supérieur ou égal à 1.
Tournez la page S.V.P.
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a.Montrer quet[k,k+1],(k+11)2t12k12. b.En déduire que pour tout entier naturel non nulnet pour tout entierNsupérieur à 2 et à n+1, on a :k=nN+1(k+11)2nN+1+1td2tk=nN+1k12. c.En déduire que pour tout entier naturel non nuln, on a : 1 1 1 r≤ + n+1nn+1(n+1)2. d.Donner alors un équivalent dern)lorsquenest au voisinage de+∞.
 Que peut-on en conclure sur la nature de la sériern? n1 Exemple 3 On pose pourn1,an=(1)n. n 3.Justifier la convergence dean. n1 4.Expression intégrale dern. 1n  Soitn (un entier naturel non nul. On définit la suiten) parn=(1)nx+ 01 a.Montrer que limIn=0 . n→+∞ n k I b.Montrer quen=ln 2+k=1(kOn.ou1)parrclacrelukn=01()k. e+(1)n, puis exprimerrnen fonction den c.En déduire la valeur d n=1n 5.Conclusion a .En utilisant une intégration par parties, montrer que lon a : (1)n1 In=a(n+1)+Onαaet>1 sont à déterminer.
b.En déduire la nature de la sériern. n1
dx.
.
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Exercice II  Racines carrées de matrices On rappelle queM3( lensemble des matrices carrées de taille 3 à coefficients réels.) désigne SoitAM3( on dit quune matrice) ,RM3() est une racine carrée deAsiR2=A. Le but de lexercice est de chercher les racines carrées de la matriceA dans les deux exemples suivants qui sontindépendants. 11 5 5 Exemple 1 Cas oùA=553333.  −  6.Réduction deADéterminer le polynôme caractéristique deA puis justifier lexistence dune matrice PM3( telle que) inversibleA=PDP1D000010. =  160 0
7.Montrer queR une racine carrée de estA, si et seulement si la matriceS=P1RP une est racine carrée deD. 8.Racines carrées deDSoitSune racine carrée deD.
a.Montrer queDS=SD. b.Montrer que la matriceSest diagonale. c.Pouri∈{1, 2, 3 , on note respectivementsi etdi coefficients diagonaux des les matricesSetD. Exprimersien fonction dedien déduire les racines carrées de lapuis matriceD. 9.Ecrire toutes les racines carrées deA laide de la matrice àP. (On ne demande pas de calculerP.)
Exemple 2 : Cas oùA=100000. 0 1 010. Question préliminaire : Endo
morphisme nilpotent
Soitf un endomorphisme non nul de3nilpotent, cest-à-dire vérifiantfN= un0 pour certain entier naturelN. Il existe alors un entier naturel non nulktel quefk10 etfk=0 . Le but de la question est de montrer quek3 .
Tournez la page S.V.P.
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Soitxun vecteur de3tel quefk1(x) 0 . a.Montrer que pouri∈{0,1,...,k1 , le vecteuri(x non nul. (on rappelle que) est 0(x)=x) b.Montrer que les vecteursfi(x)0ik1forment une famille libre. c.Que peut-on en déduire pourk? Justifier votre réponse. Remarque :Si une matriceM dans une base un endomorphisme représentef nilpotent, on dit queMestnilpotente.
11.Supposons quil existeRune racine carrée deA. a.CalculerA2,A3. En déduire queRest nilpotente. b.Calculer alorsR4. Comparer avecA2puis conclure.
Fin de lénoncé.
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