CND 2004 mathematiques specifique

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SESSION 2004 CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve spécifique concours Physique MATHEMATIQUES PARTIE II Durée : 2 heures Les calculatrices sont autorisées. NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. +∞2−xUn calcul de l’intégrale de Gauss, I = ed x ∫0 +∞2− xLe but du problème est de calculer l’intégrale de Gauss, I = ed x en utilisant une suite de ∫02− xfonctions qui converge vers x a e . Les deux premiers paragraphes sont indépendants, le troisième paragraphe utilise les résultats démontrés dans les deux paragraphes précédents. Questions préliminaires 1. Montrer que l’intégrale I est bien définie. 2. On définit sur 0,1 la fonction Ψ par Ψ()tt=+ln(1−t). [[a. Etudier les variations et le signe de Ψ . b. Donner le développement limité à l’ordre 2 en 0 de Ψ . I. Un équivalent des intégrales de Wallis et une application Pour tout entier naturel n, on définit la suite des intégrales de Wallis (I ) par : nπ2n I = sin xxd . n ∫0Tournez la page S.V.P. 2 3. Une relation de récurrence a. Calculer I et I . 0 1b. Justifier que (I ) est une suite de réels strictement positifs. nnc. ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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SESSION 2004
CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve spécifique concours Physique MATHEMATIQUES PARTIE II Durée : 2 heures
Les calculatrices sontautorisées.NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil a été amené à prendre.+∞ Un calcul de lintégrale de Gauss, I=ex2dx 0
Le but du problème est de calculer lintégrale de Gauss,
+∞ 2 =exdx en utilisant une suite de 0
2 fonctions qui converge versxaex. Les deux premiers paragraphes sontindépendants, le troisième paragraphe utilise les résultats démontrés dans les deux paragraphes précédents. Questions préliminaires 1.Montrer que lintégraleIest bien définie. 2.On définit sur[0,1[la fonctionΨparΨ(t)=t+ln(1t) . a.Etudier les variations et le signe deΨ. b.Donner le développement limité à lordre 2 en 0 deΨ. I. Un équivalent des intégrales de Wallis et une application Pour tout entier naturelndéfinit la suite des intégrales de Wallis, on  (n :) par π
2 . n=sinnxdx 0
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3. Une relation de récurrence a.Calculer0et1. b. (Justifier quen une suite de réels strictement positifs.) est n = n n. c.Montrer que pourn1, on a+1n+1I1
4.Pour tout entier naturel non nuln, on définit la suite (un) parun=nIn1In.
duire u= . q eMontrer que (un une suite constante et en dé) estIn1In2n
5. Equivalent deIna.Montrer que pourn1, on an+1InIn1. b.En déduire quenIn1. +∞ c. (Donner alors un équivalent den) à linfini.
6. Application :
Pour tout entier natureln (non nul, on définit la suiteJn) parJn=n1x2ndx. 0n π
2 a.Montrer que pourn1,Jn=nsin2n+1(x) dx. 0 b.En déduire la limite de (Jn) en. II. Intégration sur un intervalle non borné de la limite dune suite de fonctions Si (n) est une suite convergente de fonctions définies sur lintervalle non borné[0,[, on souhaite trouver une condition suffisante pour pouvoir permuter limite et intégrale, cest-à-dire +∞ +∞ e but du paragraphe est donc de donner cette condition avoirnli→+mn(x) dx=nli→+mfn(x) dx. L 0 0 suffisante. A - La convergence uniforme est insuffisante 7.Pour tout entier naturelnnon nul, on définit sur[0,[la suite de fonctions (gn) par :
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gn(x)=0xnxn22+nisiss2xxx[[n,02,nn2[n[+i[,[ a.Représenter le graphe deg2. +∞ b.Soitn1, montrer quegnest continue sur[0,[+et calculergn(x) d 0 des considérations géométriques. c. (Montrer que la suitegn) converge uniformément sur[0,+[vers la fon +∞ +∞ t-onnlim+∞gn(x) dx=nli→+mgn(x) dx? 0 0
xen utilisant
ction nulle. A-
B - Une condition suffisante : convergence uniforme sur tout segment et domination Soit (fn)n1 une suite de fonctions continues sur[0,[ qui converge uniformément sur tout segment[0,ainclus dans[0,+[aveca> une fonction0 versf. On suppose en plus que la suite (n) est dominée, cest-à-dire quil existe une fonctiong+∞ continue sur[0,[+telle queg(x) dxconverge et telle quen1,fng. 0 +∞ 8.Montrer quefest continue sur[0,+[et que(x) dxconverge. 0 9.Soit>0 . +∞ a.On définit sur[0,[+ parla fonctionϕ(t)=g(x) dx. t  Déterminer la limite de en justifier lexistence dun réel puisA> que0 tel +∞ g(x) dx<. A4 +∞A b.En déduire que pour toutn1,fn(x)f(x) dxfn(x)f(x) dx+2.0 0 +∞ +∞ c. liEn déduire quem+∞n(x) dx=f(x) dx. n 0 0
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III. Application au calcul de lintégrale de Gauss
Pour tout entier natureln non nul, on définit sur[0,+[ la ( suite de fonctionsn) par : x n =1x2nsi0,f x n n( )0 sixn,+ 2 x On note aussif la fonction définie sur[0,[+parf( )=ex. 10.Soitxun réel strictement positif. a.Montrer que pour tout entier naturelnnon nul, on an(x)f(x pourra utiliser la) (on fonctionΨ). =nΨx2b.Montrer que pour tout entiernvérifiantn>x2, on afn(x)f(x) e-x21 en. c. (En déduire que la suite de fonctionsn sur) converge simplement vers la fonction [0,+[.
11.Soitaun réel strictement positif.  Montrer que la suite (n uniformément sur) converge[0,aversf.
+∞ 12.En déduire que exd 2 0
=nlim0n1x2ndxpuis conclure quant à la valeur deI. →+∞n
Fin de lénoncé.
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