CND 2004 physique specifique

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SESSION 2004 CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve spécifique concours Physique PHYSIQUE PARTIE II Durée : 2 heures NB : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. ____ Les calculatrices sont autorisées. ____ De très nombreuses parties sont indépendantes. Il est conseillé aux candidats de prendre connaissance rapidement de la totalité du texte du sujet. Les candidats doivent respecter les notations de l’énoncé et préciser, dans chaque cas, la numérotation de la question traitée. ____ Tournez la page S.V.P. 2— OPTIQUE : ASPECTS DE LA DIFFRACTION — Les parties A, B et C sont totalement indépendantes. Partie A : étude de quelques figures de diffraction L’espace est rapporté, en coordonnées cartésiennes, à un repère orthonormé direct ()Ox,,Oy Oz de rrrbase ee,,e . ()x yz Un écran plan et opaque (E ), percé d’une pupille (S) parfaitement transparente, est placé entre deux ()()lentilles convergentes L et L ′ , de centres optiques respectifs Ω et Ω′ , et de même axe optique ()Oz perpendiculaire à (E ). Une source ponctuelle (Σ), placée au foyer objet de L , émet une ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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SESSION 2004
CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve spécifique concours Physique PHYSIQUE PARTIE II
Durée : 2 heures
NB : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil a été amené à prendre.____
Les calculatrices sontautorisées.
____  De très nombreuses parties sont indépendantes. Il est conseillé aux candidats de prendre connaissance rapidement de la totalité du texte du sujet.  Les candidats doivent respecter les notations de lénoncé et préciser, dans chaque cas, la numérotation de la question traitée. ____
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OPTIQUE : ASPECTS DE LA DIFFRACTION
Les partiesA,BetCsont totalement indépendantes. Partie A : étude de quelques figures de diffraction
Lespace est rapporté, en coordonnées cartésiennes, à un repère orthonormé direct(Ox,Oy,Oz)de bas(r,ry,rz) ee e e.Un écran plan et opaque (E), percé dune pupille (S) parfaitement transparente, est placé entre deux lentilles convergentes(L)et(L′), de centres optiques respectifset , et de même axe optique Oz à ( perpendiculaireE). Une source ponctuelle (Σ), placée au foyer objet de(L), émet une radiation monochromatique, de longueur dondeλ. Lobservation de la lumière diffractée seffectue sur un écran (E) placé dans le plan focal image de(L′), perpendiculairement à laxeOz. Les points O etOsont les points dintersection respectifs des écrans (E) et (E) avec laxe. Les axesOxetOydéfinissent les coordonnéesxetydun pointMde (E) ; les axesOxetOy etdéfinissent les coordonnéesydun pointde (E).OxetOxdune part,OyetOydautre part, sont parallèles (figure1). yy ' (1) (3) M5 (4)r( ) (2)u z ur (α,β,γ)(Σ)OO  (S) (E)(E′) (L)(L′) Figure1
La phase du rayon(4), diffracté enO la direction de vecteur unitaire suivant ur, de composantes (α, β, γ), est choisie pour origine des phases. Celle du rayon(3), diffracté en(x,y, 0) toujours suivantur t dé   , es par : finie uuuur ϕ (M)=2)(πλδ, avec = −δ ( )ur.OMLamplitude complexedψde londe diffractée, suivantru  , par lélément de surfacedS=dx dyde la pupille (S), centré enM, sécrit : dψ =k[exp(−jϕ(M))dx dy 2= − kest une constante de proportionnalité etjest le nombre complexe pour lequelj1 .
3
I. Généralités 1) très brièvement, une circonstance de la vie courante dans laquelle se manifeste un Décrire, phénomène de diffraction. 2)Recopier, approximativement, la figure1et représenter le trajet des rayons(1)et(2)entre(L)et(E), puis celui des rayons(3),(4)et(5)entre (L) et (E). 3)la principale caractéristique de londe lumineuse incidente, qui parvient surQuelle est louverture (S) ? 4)Comment se nomme la quantitéδ ( )? 5) en fonction des variables Exprimer,α,β,x,yet de la longueur dondeλ, la phaseϕ ( ). S
6)
Le pointO est centre de symétrie de la pupille ( ) choisie. SoitdS1, centré au point 1( −x,y, 0), lélément de surface symétrique, par rapport àO, de lélémentdS, centré en (x,y, 0). 6.1. Proposer un exemple de pupille admettantOcomme centre de symétrie. 6.2.Comparer lamplitude complexedψ1de londe diffractée, dans la direction ur1( −α,−β,γ ), par lélémentdS1, à lamplitudedψ de londe diffractée, dans la directionur,β,γ ), par la surfacedS. 6.3. Donner, sans calcul, la relation entre les intégralesψ1−α,−β,γ )etψ (α,β,γ ). 6.4. En déduire lélément de symétrie caractéristique du phénomène de diffraction provoqué par louverture (S).
7)Le rôle de la lentille (L), de distance focaleramener dans son plan focal image,, est de donc à distance finie, les phénomènes relevant de la diffraction à linfini. (L) est utilisée dans le cadre de lapproximation de Gauss. 7.1. brièvement les conditions de lapproximation de Gauss. Rappeler 7.2.γest donc proche de la valeur 1. En déduire une relation entreα,et. 7.3.Même question pourβ,yet. II. Diffraction par une ouverture rectangulaire La pupille (S) est une ouverture rectangulaire, de centreO, de largeurl , parallèle à laxeOxet de longueurLparallèle à laxeOy.1)Montrer que lamplitude complexeψ(α, β, γ)de londe diffractée dans la direction de vecteur r , sécri la forme : ut sous   sinAαsinB) ψ (α,β,γ=ψ)0A()α)(.Bβ(β))
Exprimer, en fonction des données de lénoncé, les grandeursψ0,A
αetB(β). Tournez la page S.V.P.
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2) LéclairementÉ(x, y′)au pointx, y′)de lécran dobservation (E) est proportionnel au carré de lamplitude de londe diffractée vers. Léclairement sur lécran sécrit donc sous la forme : É(x, y=)É0sinAAx(x)2.sinBBy(y)2( ) ( ) 2.1. Exprimer, en fonction des données de lénoncé, les grandeursA′(x′)etB′ (y′). 2.2. laide dun schéma, décrire la figure de diffraction dans le plan AOy, et préciser, notamment, la position relative des franges sombres. 2.3. Lephénomène est-il conforme au résultat de la question § A.I.6.4? 2.4. Déterminer, en fonction deλ,,l etL, les dimensions de la tache centrale. 3)Que devient la figure de diffraction, si la hauteurL de louverture (S) devient très grande nt la la rl? deva rgeu  III. Diffraction par une ouverture circulaire Sans démonstration, et à laide, simplement, des considérations de symétrie abordées au§ A.I.6., décrire lallure de la figure de diffraction donnée, sur lécran (E), par une ouverture circulaire de centreO.
Partie B : rôle constructif de la diffraction dans les réseaux Un réseau plan par transmission, noté (R), comporteNfentes fines, parallèles, de longueur infinie et séparées par la distancea du réseau). Ce réseau parfait (pas négligeable, est éclairé dépaisseur , perpendiculairement aux fentes, par une onde plane monochromatique de longueur dondeλ, sous lincidencei. Londe lumineuse diffractée dans la direction caractérisée par langleθ, résulte de la superposition desNondes cohérentes émises par les fentes. Les anglesi etθ sont comptés à partir de la normale au réseau, positivement dans le sens trigonométrique (figure2). Milieu dindice (R)(2) absolun= 1 θ(1) 2+(2)Hi2θa+ 1i1(1)Milieu dindice absolun= 1
Figure2
5
I. Diffraction à linfini : formule du réseau Soitδla différence de marche entre deux rayons consécutifs. Sur la figure2, par exemple, le rayon (2)présente un retard de marcheH2I2à lincidence et une avance de marche1H1à lémergence, par rapport au rayon(1)(les angles1H2I2et2H1I1valentπ/2).
1)
2)
Exprimer, en fonction deH2I2 et1H1, la différence de marcheδ (comptée positivement) entre les rayons(1)et(2). En déduire, en fonction dea,ietθ, une autre expression deδ.
Pour quil y ait interférences constructives dans la direction définie par langleθ, les ondes diffractées à linfini par deux fentes consécutives doivent être nécessairement en phase : = π = πvecken ϕ2δλ2k relatif. Déterminer, en fonction de tier, aa,i,λetk, les directionskdes maxima principaux de lumière diffractée, dordrek(formule du réseau). 3) Décrire, brièvement, le principe de la construction dun réseau plan par transmission. II. SpectromètreLa déviationDk, dun des rayons émergents, est langle que fait sa direction de propagation avec celle de la lumière parallèle incidente définie pari. 1)Proposer le schéma dun dispositif qui, en pratique, permet dobserver et de repérer les directions de ces maxima principaux. 2)Exprimer, en fonction deθketi, la déviationDk. 3)Langle dincidenceipeut être modifié. Pour une certaine valeuri=im,k, la déviationDkdun rayon émergent, choisi dans lordrek, présente un extrémum (minimum)Dm,k non nul.
4)
5) 6)
Montrer que légalitédDdim,k= au minimum de déviation, la relation0 entraîne,im,k= ±θm,k. m,k
Exprimer la déviationDm,ken fonction deim,k.
En déduire la relation entreDm,k,k,λeta(formule du réseau au minimum de déviation).
Application numérique. Des mesures ont donné les résultats suivants :
Lampe spectrale
Mercure Hélium
Radiation Vert « fluo » Jaune
λ(nm) 546,1 ?
Ordrek2 2
Dm,k(degrés) 35,32 38,11
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Calculer : 6.1. nombre leN* de traits par mm présenté par le réseau ; 6.2. la longueur dondeλde la raie jaune de lhélium.Partie C : effet limitant de la diffraction dans un instrument doptique Un microscope simplifié est constitué par deux lentilles minces convergentes de même axe optique. On suppose que chacune de ces lentilles est utilisée dans des conditions de stigmatisme et daplanétisme approchés. Lobjectif(L1), de centre optiqueO1, présente une distance focale image1. Loculaire(L2), de centre optiqueO2, possède une distance focale2. Le foyer imageF1de(L1)et le foyer objetF2de(L2)sont distants de∆ =F1F2(intervalle optique), grandeur maintenue constante et positive. Un petit objetAB à étudier est placé en avant du foyer objetF1 de lobjectif, orthogonalement à laxe optique, le pointAcondenseur de lumière permet déclairer lobjetappartenant à cet axe. Un observé. Lil dun observateur est placé derrière loculaire (figure3). Le microscope permet donc dobserver, à la loupe(L2), limage agrandieA1B1de lobjetABdonnée par lobjectif(L1), soit :
ABObjectifL1→ A BOculaireL2→AB
1 1  + 21O11 F2 O2zil (L1)(L2) Figure3 Le microscope est réglé pour quun il, supposé normal, nait pas à accommoder lorsquil observe, à travers lappareil, limage finaleABde lobjetAB. Les conventions dorientation, dans les mesures algébriques des angles (comptés à partir de laxe optique) et des bipoints, sont précisées sur la figure3. I. Tracé de rayons1)Donner la position de limage intermédiaireA1B1.
2)
7
Faire un schéma et tracer la marche dun pinceau lumineux étroit issu deB, point de lobjet nappartenant pas à laxe.
3)Exprimer, en fonction de1et, le grandissement linéaireγ1=A1B1ABde lobjectif. II. Limite de résolution angulaire de lil Soitα′, langle sous lequel lil voit, depuisF2, limage définitiveAB. 1)Écrire, en fonction de1,2et, lexpression de la puissancePdu microscope, définie par le rapportP= α′AB.2)La puissancePdépend-t-elle de la position de lil, en arrière de loculaire ? 3)Du fait de la structure granulaire de la rétine, lil ne peut distinguer les deux imagesAetB, que si langleα′il les voit, est tel que, sous lequel α′ ≥ ε(limite de résolution angulaire de lil). Déterminer, en fonction de1,2,etε, la tailleABmin,oeildu plus petit objet dont les extrémités pourraient être observées distinctement à travers le microscope. 4)Application numérique1= 0,50 cm;2= 2,5 cm;= 16 cm;ε= 4,5 10-4rad. Calculer la limite de résolutionABmin,oeilimposée par la structure de la rétine.III. Limite de résolution de lappareilLe faisceau lumineux (longueur dondeλmicroscope, est limité par la monture), qui pénètre dans le de lobjectif. Le diaphragme douverture, pupille circulaire de faible rayonR1, est responsable dun phénomène de diffraction. Les imagesA1 etB1 des points objetsA etB sont, en fait, des taches circulaires, dites « taches dAiry », de rayonρ, centrées respectivement enA1etB1et situées dans un plan perpendiculaire à laxe optiqueO1z. 0, 61λO A 1 Le rayonρest donné par la relationρ =n1R11. On admet, par convention (critère de Rayleigh), que les deux imagesA1 etB1 ne peuvent être distinguées que si les deux taches ne se chevauchent pas trop : à la limite, le centre de la figure dAiry relative à lun des points correspond à la bordure de la tache dAiry de lautre point. La condition daplanétisme (relation des sinus dAbbe) est rappelée :n ABsinu=n1A1B1sinu1 . nest lindice absolu du milieu dans lequel se trouve lobjetAB,n1=1 est lindice absolu du milieu où se formeA1B1. Langleuest le demi-angle du cône de lumière qui pénètre dans lappareil (angle douverture). Langleu1est faible, ce qui permet décriresinu1tanu1u1(rad) (figure4).
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1)
2)
3)
4)
Milieu dindicen
Soit
u
(L1)
O1
Milieu dindicen1= 1
1
u1
Monture de lobjectif (L1)
8
Figure4
+
y
1
1
Projection des taches dAiry, de rayonρ, zdans le planyA1
A1Bm1ni,la plus petite distance entre deux points-images distincts. Donner la relation entreA1Bin1met le rayonρde la tache dAiry.
A B corre Montrer que la limite de résolution du microscopemin,µspondante, sécrit sous la forme stante positive. Donner la valeur deq. :A Bmin,µ=qnsiλnu, avecqcon
Quel(s) moyen(s) peut-on employer pour diminuer la valeur
appareil qui permet létude de détails plus fins ?
A B et ser ainsi d dun min,µispo
Application numériqueλ= 0,55 µm;nsinu=0, 80 . 4.1.Calculer la limite de résolutionA B. min,µ 4.2.ComparerA Bmin,µetA Bmin,oeil(§ C.II.4.). Conclure.
Fin de lénoncé
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