CND 2005 mathematiques specifique

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` SESSION 2005 CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve spécifique concours Physique MATHEMATIQUES PARTIE II Durée : 2 heures Les calculatrices sont autorisées. NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. Ce sujet est constitué d’un problème et d’un exercice indépendants. Problème : Utilisation des séries de Grégory pour l’approximation de π Le problème propose l’étude de deux approximations de π . Toutes deux utilisent des séries de Grégory définies dans la partie I. Les parties II, III, IV peuvent être traitées de manière indépendante. I. séries de Grégory n+∞n aPour tout réel a de 0;1 , on définit la série de Grégory de paramètre a par : G=− 1 . ] ] ()∑a 21n +n =0 1. Convergence de la série G aa. Montrer que la série G est convergente. Est-elle absolument convergente ? 1 Justifier votre réponse. b. Montrer que pour a ∈ 0;1 , la série G est absolument convergente. ] [ a n+∞ anOn notera, dans la suite, Ga() la somme de la série G , c’est-à-dire Ga()=− 1 . ()a ∑ 21n +n =02. Soit a ∈ 0;1 . ] ]naa. Etudier les variations de la suite u définie pour n ∈ par u = . ( )n n 21n +Tournez la page S.V.P ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Les calculatrices sont
autorisées
.
NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la
rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa
copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à
prendre.
Ce sujet est constitué d’un problème et d’un exercice
indépendants.
Problème : Utilisation des séries de Grégory pour l’approximation de
π
Le problème propose l’étude de deux approximations de
π
. Toutes deux utilisent des séries de
Grégory définies dans la partie I.
Les parties II, III, IV peuvent être traitées de manière indépendante.
I. séries de Grégory
Pour tout réel
a
de
]
]
0;1
, on définit la série de Grégory de paramètre
a
par :
(
)
0
1
2
1
n
n
a
n
a
G
n
+∞
=
=
+
.
1.
Convergence de la série
a
G
a.
Montrer que la série
1
G
est convergente. Est-elle absolument convergente ?
Justifier votre réponse.
b.
Montrer que pour
]
[
0;1
a
, la série
a
G
est absolument convergente.
On notera, dans la suite,
(
)
G
a
la somme de la série
a
G
, c’est-à-dire
(
)
0
(
)
1
2
1
n
n
n
a
G
a
n
+∞
=
=
+
.
2.
Soit
]
]
0;1
a
.
a.
Etudier les variations de la suite
(
)
n
u
définie pour
n
`
par
2
1
n
n
a
u
n
=
+
.
SESSION 2005
CONCOURS NATIONAL DEUG
_______________
Epreuve spécifique concours Physique
MATHEMATIQUES
PARTIE II
Durée : 2 heures
2
b.
Pour tout entier naturel
n
, on note
,
n
a
G
la somme partielle de la série
a
G
, c’est-à-dire
(
)
,
0
1
2
1
k
n
k
n
a
k
a
G
k
=
=
+
. Justifier que
1
,
,
(
)
2
3
n
n
a
a
n
G
a
G
n
+
+
`
.
II. Une première approximation de
π
à l’aide d’une série de Grégory
On définit l’application
f
de
\
dans
\
,
2
π
périodique, impaire, par
]
[
0;
,
( )
1
(0)
0
(
)
0
t
f
t
f
f
π
π
=
=
=
.
3.
Représenter graphiquement
f
puis calculer les coefficients de Fourier de la fonction
f
.
4.
Justifier que
f
est développable en série de Fourier, en déduire la formule
4 (1)
G
π
=
.
La suite
(
)
,1
4
n
n
G
`
converge donc vers
π
et ainsi fournit une approximation de
π
.
5.
Précision de l’approximation
Justifier que
,1
4
,
4
2
3
n
n
G
n
π
+
`
puis déterminer un entier
1
N
pour lequel
6
1
,
1
,
4
1
0
n
n
N
G
π
.
Interpréter cette dernière inégalité : écrire une phrase en utilisant les termes « itérations » et
« décimales exactes ».
III. Expression de la fonction arctangente à l’aide de séries de Grégory
6.
Donner le développement en série entière au voisinage de 0 de la fonction
2
1
1
x
x
+
6
puis
déterminer le rayon de convergence de cette série entière.
7.
Justifier que pour
]
[
1;1
x
,
2
1
0
Arctan
( 1)
2
1
n
n
n
x
x
n
+
+∞
=
=
+
.
En déduire une expression de
Arctan
a
à l’aide d’une série de Grégory lorsque
]
[
0;1
a
.
IV. Formule de John Machin
Pour toute cette partie, on pourra utiliser la formule suivante de trigonométrie :
(
)
tan
tan
tan
1
t
a
n
t
a
n
u
v
u
v
u
v
+
+
=
.
Tournez la page S.V.P.
3
8.
Calculer
1
tan 2Arctan
5
puis
1
tan 4Arctan
5
. On donnera les résultats sous forme de
rationnels.
9.
En déduire la formule de Machin
1
1
4Arctan
Arctan
4
5
239
π
=
.
On pourra calculer
1
tan 4Arctan
5
4
π
.
V. Application de la formule de Machin pour approximer
π
10.
Expression de
π
comme combinaison linéaire de 2 séries de Grégory
Déterminer 4 réels strictement positifs
1
2
1
2
,
,
,
a
a
λ λ
tels que
1
1
2
2
(
)
(
)
G
a
G
a
π
λ
λ
=
.
11.
Précision de l’approximation
a.
Déterminer un entier
K
tel que
(
)
1
2
1
,
2
,
1
,
25
n
a
n
a
n
K
n
G
G
+
`
π
λ
λ
.
b.
Trouver un entier
2
N
pour lequel
2
n
N
∀ ≥
,
(
)
1
2
6
1
,
2
,
10
n
a
n
a
G
G
π
λ
λ
.
Comparer la précision de cette approximation avec celle de la partie II.
Remarques
:
- Cette méthode d’approximation de
π
utilisée par John Machin (1680- 1752) permit à ce dernier
de calculer « à la main » 100 décimales exactes de
π
en 1706.
- Les approximations de
π
à l’aide de séries de Grégory permirent d’obtenir à l’aide
d’ordinateurs un million de décimales en 1974. (J. Guilloud et M. Bouyer)
- Aujourd’hui, les mathématiciens ont trouvé d’autres types de techniques encore plus
performantes, qui leur permettent de calculer plusieurs milliards de décimales.
Exercice : Quelques propriétés de l’ensemble des matrices orthogonales
Dans cet exercice,
n
est un entier naturel non nul et on note :
(
)
n
M
\
le
\
- espace vectoriel des matrices carrées réelles d’ordre
n
.
Pour une matrice
A
de
(
)
n
M
\
,
t
A
est sa matrice transposée et
(
)
Tr
A
sa trace.
n
I
la matrice unité de
(
)
n
M
\
.
(
)
n
O
\
l’ensemble des matrices orthogonales de
(
)
n
M
\
, c’est-à-dire des matrices
M
vérifiant :
t
n
M
M
I
=
.
4
Un produit scalaire sur l’espace des matrices réelles
Si
A
et
B
sont deux matrices de
(
)
n
M
\
, on pose
(
)
,
T
r
t
A
B
A
B
=
.
12.
Soit
( )
n
A
M
\
. Exprimer Tr(
)
t
AA
en fonction des coefficients de
A
.
13.
Montrer que
,
définit un produit scalaire sur
(
)
n
M
\
.
La norme associée à ce produit scalaire (norme de Schur) est notée : pour
(
)
n
A
M
\
,
,
A
A
A
=
.
Ensemble des matrices orthogonales
14.
Soit
(
)
n
A
O
\
, quelle(s) valeur(s) peut prendre le déterminant de
A
?
(
)
n
O
\
est-il un espace vectoriel ?
15.
(
)
n
O
\
est-il une partie bornée de
(
)
n
M
\
pour la norme de Schur ? Répondre à la même
question, pour une norme quelconque sur
(
)
n
M
\
.
- Fin de l’énoncé -
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