CND 2006 mathematiques commune

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SESSION 2006 CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve commune concours Physique et concours Chimie MATHEMATIQUES PARTIE I Durée : 2 heures Les calculatrices sont autorisées. NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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SESSION 2006 CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve commune concours Physique et concours Chimie MATHEMATIQUES PARTIE I Durée : 2 heures Les calculatrices sontautorisées.NB :Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.* * * Les trois exercices sontindépendants. Exercice 1Etude d’une suite récurrente 1On noteI l’intervalleSoit0; .(u) lasuite définie pour tout entier naturel non nuln par  n 631 u=u2uetu=. n+1n n1 10 3 On notef la fonction définie surIpar(x)=x2x. 1.Etude de la convergencea.Déterminer les variations defsurIpuis comparer(I)etI. b.Déterminer la monotonie de la suiteu). n c.Montrer que la suite(u)est convergente et déterminer sa limite. n 2.Théorème de CesàroSoit(v)une suite définie pour tout entier naturel non nuln, qui converge vers un réell. n 1 On définit alors la suite( ) pourtout entier naturel non nuln, par=(v+v+...+v). nn1 2n n est la moyenne arithmétique desnpremiers termes de la suite(v). n n a.Traduire à l’aide de quantificateurs le fait que la suite(v)converge versl. n
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b.Soitn unentier naturel non nul, etp unentier tel que1≤ ≤n. Montrer que p 1 nk k lvl+maxvl. np<kn k=1 c.Conclure avec soin que si la suite(v)converge versl, alors( )converge aussi versln n (ce résultat porte le nom de théorème de Cesàro). 3.Application à la recherche d’un équivalent deu)n 1 1 a.Déterminer la limite delorsquextend vers 0. 2 2 3 x2x ( ) 1 1  Endéduire la limite de la suite(v)définie parv= −. nn 2 2 u u n+1n b.Utiliser tous les résultats précédents pour donner un équivalent au voisinage de+∞de la n suite(u)(on pourra simplifierv). n k k=1 Exercice 2Etude d’un endomorphisme sur l’espace des polynômes nun entier naturel, on note désigne\[ le\-espace vectoriel des polynômes à coefficients n dans\, de degré inférieur ou égal àn. On définit sur\[, l’applicationf:\[\[Xpar : n n P\[X,f(P(X))=X(P(X)P(X1)). n 4.Résultatspréliminaires2 a.Calculer(1),f(X),f(X). n n1 b.SiP(X)=a X+a X+...+a, aveca0 ,quel est le terme de plus haut degré du n n1 0n polynômeP(X1) ? c.SoitP\[X vérifiantP(X)=P(XOn pose1) .Q(X)=P(X)P(0) .Montrer que n Q(X) estun polynôme constant que l’on précisera.5.Montrer quefest un endomorphisme de\[. n 6.Déterminer le noyau def, en déduire la dimension de l’image def. 7.Dans cette questionuniquement, on suppose quen=2. a.Quelle est la base canonique de\[? Ecrire la matrice de l’endomorphismef dans 2 cette base canonique. b.L’endomorphismefest-il diagonalisable ? 8.Etude de la diagonalisation dans le cas généralPour tout entier naturelk, on définit les polynômesPpar : k P(X)=1,P(X)=Xet pour toutk2,P(X)=X1X) (2X)...(k1X). 0 1k a.Montrer que la famille(P,P,P,...,P)est une base de\[. 0 1 2n n
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b.Soitkun entier naturel, déterminer un nombre réelctel que(P)=c P. k kk k c.Déterminer les valeurs propres def. L’endomorphismefest-il diagonalisable ? Exercice 3Résolution d’une équation différentielle 2 9.(On noteEdifférentielle) l’équationy'+(x1)y=x. a.Résoudre (E) sur0;+∞[. 2 e b.(Sachant que les solutions deE) sur−∞; 0[ sontles fonctions6x+2+ +B, où x \(, existe-t-il des solutions deE) définiessur\? Si oui, les expliciter. Fin de l’énoncé
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