CND 2006 physique specifique

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SESSION 2006 CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve spécifique concours Physique PHYSIQUE PARTIE II Durée : 2 heures NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. ____ Les calculatrices sont autorisées. L’usage de tout ouvrage de référence et de tout document est interdit. ____ De très nombreuses parties sont indépendantes. Il est conseillé aux candidats de prendre connaissance rapidement de la totalité du texte du sujet. Les candidats doivent respecter les notations de l’énoncé et préciser, dans chaque cas, la numérotation de la question traitée. 1/8 JGGGGGJGGGGGGGGJ CIRCUITS ÉLECTRIQUES : ÉTUDE D’UN CÂBLE COAXIAL Les parties A et B sont indépendantes Partie A : câble coaxial en régime continu Un câble est constitué de deux armatures métalliques coaxiales (axe Ox commun), séparées par un matériau isolant imparfait (figure 1) : — l’armature interne (A ), ou âme, est un conducteur cylindrique (plein), de conductivité σ et de 1rayon r ; 1— l’armature externe (A ) est une enveloppe cylindrique pleine, conductrice, de conductivité σ et ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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SESSION 2006
CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve spécifique concours Physique PHYSIQUE PARTIE II Durée : 2 heures
NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.____ Les calculatrices sontautorisées. L’usage de tout ouvrage de référence et de tout document estinterdit. ____ De très nombreuses parties sont indépendantes. Il est conseillé aux candidats de prendre connaissance rapidement de la totalité du texte du sujet. Les candidats doivent respecter les notations de l’énoncé et préciser, dans chaque cas, la numérotation de la question traitée.
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CIRCUITS ÉLECTRIQUES : ÉTUDE D’UN CÂBLE COAXIAL Les partiesAetBsont indépendantes Partie A : câble coaxial en régime continu Un câble est constitué de deux armatures métalliques coaxiales (axeOxcommun), séparées par un matériau isolant imparfait (figure1) : — l’armature interne (A1), ou âme, est un conducteur cylindrique (plein), de conductivitéσet de rayonr; 1 — l’armature externe (A2) est une enveloppe cylindrique pleine, conductrice, de conductivitéσet comprise entre deux surfaces cylindriques coaxiales, de rayonsretr(avecr<r) ; 2 3 2 3 — la gaine d’isolant imparfait (G), de conductivitéσ, compris entre les surfaces cylindriques de rayonsretr, sépare l’âme de l’armature externe. 1 2 (A) 2 Isolant (G) r r 2 3 e (A)O1r1 x
Figure1 I. Loi d’Ohm locale Les charges mobiles (électrons de charge – e) d’un conducteur métallique cylindrique, d’axeOxJJG G orienté par le vecteur unitairee, sont animées d’une vitessev, sous l’action d’un champ électrique JGJJGG G uniformeE=E eappliqué à l’instant initialt=0(avecv(t=0)=Les électrons sont en outre0 ). JGG m soumis à une force de freinage= −v, avecτ constante physique positive etm la masse de
l’électron. L’action du champ de pesanteur est négligée. 1) Quelles peuvent être les causes de l’existence de la force de freinage ? GJJG 2)vitesse La vcolinéaire au vecteur est e. En appliquant la relation fondamentale de la G dynamique, exprimer l’équation différentielle qui relie le vecteurvau tempst. G 3)En déduire l’expression vectorielle du vecteur vitessev t). GG 4)Montrer que la vitessev(t)l’électron tend vers une valeur limite de vlimdépend des qui JG grandeurse,m,τ etE.
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5)Application numérique. 1931141 e=1, 6×10 C ;m=9,1×;10 kg τ=2, 5×10 s ;E=.V m 0, 5 5.1. Calculerv. lim 5.2. Comparerv(t=5)etv. Conclure sur la durée d’établissement du régime permanent. lim G G JG 6)régime permanent est maintenant établi  Le : l’égalitév=vlim=µE est vérifiée (avecµG mobilité algébrique constante des électrons).jest le vecteur densité de courant électrique, et N*la densité particulaire des électrons (nombre d’électrons par unité de volume) dans le est métal. G G 6.1. En rappelant la relation qui existe entrej,N*,e etv, montrer que le conducteur GJG métallique satisfait à la loi d’Ohm localej=E, avecσ conductivité électrique du milieu. 283 6.2.Application numérique.N*=6, 0×10 m .  Calculer la valeur de la conductivitéσ. II. Résistance d’un conducteur cylindrique d’axe Ox Un conducteur cylindrique d’axeOx, de section constanteS, est parcouru par un courant GG d’intensitéIconstante, et obéit à la loi d’Ohm locale. Le régime est permanent : les vecteursjetEsont uniformes, et le phénomène de transport est unidirectionnel. La section (disque) d’abscissex=0 est maintenue au potentielV constant. SoitV(x), le o potentiel de la section d’abscissex(figure2). V V(x) o G I e x
1) 2)
3)
4)
5)
O
Figure2
x
G Rappeler la relation entreIetj. JG JJJJJG Le champ électrique dérive du potentielV(relationE= −grad V) : écrire l’équation qui lie le G dV(x) vecteur densité de courantj.à la dérivée dx Exprimer, en fonction des grandeursV,I,σ,Setx, le potentielV(x)du conducteur, dans le o plan d’abscissex. En déduire la résistance(x)du conducteur cylindrique compris entre les sections d’abscisses x=0etx. Les propriétés et résultats précédents sont applicables aux armatures (A1) et (A2) du câble coaxial. 5.1. Exprimer, en fonction deσ etr, la résistance linéique du conducteur 1 1 (A1) (résistance par unité de longueur). 5.2. Déterminer, en fonction deσ,retr, la résistance linéique du conducteur (A2). 2 3 2
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III. Résistance de la gaine d’isolant imparfait comprise entre les deux armatures Les armatures (A1) et (A2) sont considérées,uniquement dans ce paragraphe(§. A.III), comme des conducteurs parfaits portés aux potentiels respectifsV etV (avecV>V) uniformes et 1 2 1 2 constants. La gaine « d’isolant » homogène (G), comprise entre les armatures, se comporte comme un conducteur ohmique de faible conductivitéσ. Il est parcouru par un courant électrique de fuite . Le phénomène est à symétrie cylindrique et les effets de bord sont négligés : les lignes de Acourant dans « l’isolant » sont radiales (donc orthogonales à l’axeOx) sur toute la longueur du câble et le vecteur densité de courant ne dépend que du rayonr(figure3). (A )V 22 (G) Courant de fuiter2 (A )r 1 1V x 1
(G) (A )V 22 AFigure3 1)Le phénomène de transport étant unidimensionnel, écrire l’équation qui lie la densité de courant dV(r) j(r)à la dérivée. dr 2) En choisissant une surface cylindrique d’ax eOx, de longueurA et de rayonr(r1<r<r2), relier l’intensité du courant de fuite à la densité de courantj(r). 3)Sachant que la différence de potentielVVs’écrit sous la formeVV=R I, déterminer, 1 2 1 2 sσ, ,retr, la r en fonction des grandeurA1 2ésistanceRde la gaine d’isolant, de longueurA. IV. Étude du câble coaxial Les armatures ont à nouveau la conductivitéσ, comme décrit au §A.II.5. Dans le plan d’abscissex=0, la section de l’armature interne (A1) (disque de rayonr) est 1 maintenue au potentielV(0)=V constant et la section de l’armature externe (A2) (couronne 1 1 circulaire) est maintenue au potentielV0)=Vconstant, avecV>V. 2 2 1 2 Dans le plan d’abscissex, la section de l’armature (A1) se trouve au potentielV(x), et la section de 1 l’armature (A2) présente le potentielV(x). Par ailleurs, toujours dans le plan d’abscissex, ces 2 sections sont traversées par des courants (lignes de courants parallèles àOx), de même intensité i(x), mais de sens opposés. Soiti(0)=i, l’intensité constante du courant dans (A1) et (A2), à l’abscissex=0. o
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La tranche élémentaire de câble coaxial, comprise entre les plans d’abscissex et partiellement symbolisée par la figure4.
i(0)
i(0)
V(0) 2
O V(0) 1
i(x)
V(x) 2
i(x)
V(x) 1
i(x+dx)
di f
V(x+dx) 2
i(x+dx)
V(x+dx) 1
(A) 2
(G) isolant
(A) 1
r 1
r 2
dx, est
x
x x+dx Figure41)Exprimer, en fonction dei(x)eti(x+dx), le courant de fuite élémentairedi, dans la tranche d’épaisseurdx(figure4). 2)application de la loi d’Ohm, dans la tranche élémentaire d’épaisseur Par dx, établir : 2.1. une équation différentielle liantV(x) eti(x), pour l’armature (A1) de résistance 1 linéique; 1 2.2. une équation différentielle liantV(x) eti(x), pour l’armature (A2) de résistance 2 linéiqueλ; 2 2.3. une équation différentielle liantV(x),V(x)eti(x), pour « l’isolant » (G). 1 2 r 12 3) On poseλ=ln. Montrer qu’en combinant les trois équations différentielles g 2π σr g1 précédentes, on obtient une équation différentielle du second ordre eni(x), de la forme : 2 d i(x) 2 ωi(x)=0 . 2 dx  Exprimer en fonction de ,etλ. 1 2 4)câble est supposé de longueur infinie. L’intégration de l’équation différentielle précédente Le conduit à l’expression : − +ωx i(x)=I e+I e, avecd’intégration.et constantes 1 2 1 2  4.1. Déterminer les constantes et . 1 2  4.2. Dessiner l’allure de la courbe représentative de la fonctioni(x).
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5)résistance de ce câble coaxial, de longueur infinie, est définie par le rapport La V(0)V(0) 1 2 R=. c i(0)  5.1. Établir les expressions deV(x)etV(x). 1 2  5.2. Dessiner l’allure de la courbe représentative de la fonctionv x)= V(x)V(x). 1 2 5.3. Déterminer, en fonction des grandeursλ,λetλ, la résistance . 1 2c V. Modélisation simple du câble Le câble peut être modélisé par un circuitA1A2, constitué d’une chaîne den modules identiques comportant chacun trois résistors (résistances respectivesR/2, 2RetR/2) (figures5et6). Un dipôle résistorX1X2, de résistance 2R, est branché en parallèle à l’extrémité de la chaîne. A X A X 1 1 1 1 R/2R/2R/2
Vo
1)
2)
A 2
R/2
1 module
2R
 Figure5
2R
X 2
V1
Vo
A 2
R/2
2R
R/2
2 modules
Figure6
2R
2R
X 2
V 2
Le dipôleA1A2est équivalent à un résistor. 1.1. Exprimer, en fonction deR, dans le cas d’une chaîne ne, la résistance équivalente 1 comportant qu’un seul module (figure5). 1.2. Même question pour la résistance équivalente , dans le cas d’une chaîne àn=22 modules (figure6). 1.3. En déduire, sur le même principe, la résistance équivalented’une chaîne ànmodules. n
Le dipôleA1A2est alimenté par un générateur de tension constanteV=VV. o A1A2 2.1. Déterminer, en fonction deV etR, la tensionV=VV, aux bornes du résistor o1X1X2 X1X2, dans le cas d’une chaîne ne comportant qu’un seul module (figure5). 2.2. Même question pour la tensionV, dans le cas d’une chaîne àn=2modules (figure6). 2 2.3. En déduire, sur le même principe, la tensionVdans le cas d’une chaîne ànmodules. n 2.4. En déduire la valeur une chaîne de longueur  Vpour infinie(n→ ∞).
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Partie B : câble coaxial en régime sinusoïdal On se place dans le cadre de l’approximation des régimes quasi stationnaires (A.R.Q.S.). Le câble est alimenté par une source de tension alternative sinusoïdale (signal)v(0,t), enx=0. L’âme (A1) et l’armature externe (A2), qui présentent les résistances linéiques respectives etλ1 2 –1 –1 () et les inductances propres linéiques respectives et m Λ (H m ), constituent un 1 2 –1 condensateur de capacité linéiqueΓ). L’isolant imparfait ((F m G) présente la conductivité radiale 1–1 –1 –1 linéique (S m ).m ou
À l’instanttet à l’abscissex,i=i(x,t)est l’intensité du courant qui circule dans les armatures (A1) et (A2), etv=v(x,t)est la différence de potentiel existant entre ces dernières. Le schéma électrique équivalent à une tranche élémentaire de ligne coaxiale, d’épaisseurdx, est représenté sur la figure7. Résistance Inductance Q Ni(x, t)i(x+dx, t) {  (A) 2
v(x, t)
(A) { 1
1)
2)
3)
4)
5)
i(x, t) M
Résistance
Capacité
Inductance
di C
Résis--tance
diR
P
v(x+dx, t)
i(x+dx, t)
x x+dx Figure7 Le cas échéant, les développements seront limités aux termes du premier ordre.
x
Recopier la figure7. La compléter en attribuant à chacun des dipôles, la valeur de sa grandeur caractéristique, en fonction des données de l’λ,λ,Λ,Λ,Γ,λetdx. énoncé(1 2 1 2g) Soientx et+dx, les abscisses respectives des points M et P de l’armature (A1). Relier la i tensionu(x,t)=VVaux grandeursiet . 1P M t Même question pour la tensionu(x,t)=VV, les points N et Q de l’armature (A2) ayant 2Q N pour abscisses respectivesxet+dx. Après avoir explicité la différence de tensionv(x+dx,t)v x,t)des mailles), établir la (loi vi relation, notée (1), entre les grandeurs,eti. ∂ ∂t Dans la tranche élémentaire, la gaine (G) est caractérisée par une résistance parcourue par le courantdiRet une capacité parcourue par le courantdiC(figure7). Relier l’intensité élémentaire v diRàv, puis l’intensité élémentairediCà . t
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6)
7)
8)
Après avoir écrit la relation entre les courantsi(x+dx,t),i(x,t),di etdiRdes nœuds), (loi C iv établir la relation, notée (2), entre les grandeurs , etv. ∂ ∂t Dériver l’équation (1) par rapport à l’abscissex, et l’équation (2) par rapport au tempst. En déduire, après combinaison des relations obtenues, une équation différentielle (3) du second ordre env, appelée équation des télégraphistes. Cette équation constitue l’équation de propagation d’une onde de tension. À l’entrée de la ligne supposée relativement longue, enx0, est établie, entre l’âme et j t l’armature externe, une tension sinusoïdale dont l’expression complexe est :v(0,t)=V e. o En régime forcé, la tensionv(x,t)entre les armatures, à l’abscissex, est de la forme générale, en notation complexe : αj(ωtβx)αx j(ωt+βx) v(x,t)=V1e e+V2e e,
avec constante positive, etVetVconstantes réelles d’intégration. 1 2 8.1. Simplifier l’expression dev(x,t), en tenant compte des réalités physiques. 8.2. Quelles sont les principales caractéristiques de cette onde de tension ?
Fin de l’énoncé
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