Corrigé du bac S 2009: Mathématique Spécialité

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Description

Etude de suites et d'intégrales. Similitude complexe et géométrie dans l'espace. Arbre et loi de probabilité.
Terminale S, Pondichéry, 2009

Sujets

• bac
• bac s
• corrigé bac

Informations

• Publié par: les-corriges
• Publié le: 01 janvier 2009
• Nombre de lectures: 47
• Langue: Français

Extrait

[CorrectiondubaccalauréatSPondichéry\
16avril2009
EXERCICE 1 7points
2−xLafonction f estdéfiniesurl’intervalle [0;+∞[par: f(x)=xe .
PartieA
21 x
1. a. Onremarqueque,pourtoutx>0, f(x)= .2xx e 2lim x =+∞
x→+∞
Or X lim =0 (Inversedelimitederéférence.)
XX→+∞e
2x 1
donc lim =0et lim =0et,parproduitdeslimites,2−xx→+∞ x→+∞xe
lim f(x)=0.
x→+∞
b. La fonction f est dérivablesur son ensemble de définition comme pro-
duitdefonctionsdérivables.
2 2′ −x −xPourtoutx>0,g (x)=e +x×(−2x)e .
′ ′ ′ u ′ ′ uFormulesutilisées(uv) =u v+uv et(e ) =u e .
2 2′ 2 −x −x ′ 2Doncg (x)=(1−2x )e .Commee >0,g (x)estdusignede1−2x ,
2polynôme du second degré nul pour x = 1/2 et négatif sauf entre ses" " # "p p
2 2′ ′racines. Donc g (x)>0 si x∈ 0; et g (x)<0 si x∈ ;+∞ . La
2 2
fonction g estdonccroissantepuisdécroissanteetadmetunmaximum? !p p p
2 2 2 1−1/2en .Enfin,g = e = .p
2 2 2 2e? ?Z aa 2 1 2 1 1 2−x −x −a2. F(a)= xe dx= − e = − e .
2 2 20 0
1 2−alim F(a)= car lim e =0.
a→+∞ a→+∞2Zn+1
PartieBu = f(x)dxn
n # "p p
2 2
1. a. Lafonction f estdécroissantesur ;+∞ et 61donc,pourtout
2 2
entier naturel n> 1, f est décroissante sur [n ; n+1] et pour tout x∈
[n ; n+1], f(n+1)6 f(x)6 f(n). L’inégalité de la moyenne permet de
direque Zn+1
(n+1−n)f (n+1)6 f(x)dx6(n+1−n)f (n)
n
c.-à-d. f(n+1)6u 6 f(n)n
b. Pour tout n> 1, u > f(n+1)> u donc la suite est décroissante àn n+1
partirdurang1.
c. Comme lim f(n)= 0, que lim f(n+1)= 0 et que pour tout n> 1,
n→+∞ n→+∞
f(n+1)6u 6 f(n),lasuite(u )convergevers0.(Théorèmedecompa-n n
raison) Z Z Zn−1 1 2 nX
2. a. Pour tout n> 1, u = f(x)dx+ f(x)dx+???+ f(x)dx. Enk
0 1 n−1k=0 | {z }
n termesZn−1 nX
utilisantlarelationdeChasles, u = f(x)dx=F(n).k
0k=0b
b
b
b
b
b
b
b
A.P.M.E.P. CorrigédubaccalauréatS
b. Le tableau illustre le fait que (F(n)) converge vers 1/2, conséquence du
résultat démontré enA.2. Maisilillustre aussi le faitque laconvergence
1 2−nest très rapide. En effet, 1/2−F(n)= e et, pour tout n> 5, on a
2
1 2 1−n −25 −12e 6 e < 7.10 . Donc F(5) est une bonne approximation de
2 2
l’airesouslacourbeentre0et+∞.
EXERCICE 2 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
N
′Γ
MΓ
Q
D
~v
O ~u
C
A
B
1. a.
c−b −2+2i i(2+2i)
b. = = =idemodule1etd’argumentπ/2donc
a−b 2+2i 2+2i−→ −→
BA=BC et(BA ;BC )=π/2.(Interprétationgéométriqued’unquotient).
Letriangle ABC estdoncrectangleisocèledesommetB.
p p p p p
c. |a|= 9+1= 10et|b|= 1+9= 10doncOA=OB= 10.Lespointsp
surlecercledecentreO etderayon 10.
2. a. Larotationdecentre M(m)et d’angleπ/2apour expression complexe :
′ iπ/2 ′z =e (z−m)+m soitz =iz+(1−i)m.
b. N(n)estl’imagede A parr,doncn=ia+(1−i)m=1+3i+(1−i)m.
a+n (1−i)m
3. LemilieuQ dusegment[AN]apouraffixeq= =2+i+ .
2 2
4. Danscettequestion, M estunpointducercleΓ.
a. Le point M(z) est sur le cercle de centre?(ω) et de rayon r si et seule-
iθment s’il existe un réel θ tel que z = ω+re (Représentation paramé-p
trique d’un cercle). Ici, M est sur le cercle de centre O et de rayon 10p
iθdoncilexisteunréelθ telque:m= 10e .? ?? ? p p p(1−i)m 1 1? ?b. |q−2−i|= = |1−i|.|m|= 2 10= 5. Si D est le point? ?2 2 2p
d’affixed=2+ı,alorsDQ= 5doncQ estsurlecercledecentreD etdep
rayon 5.
p p p(1−i)m 1 −iπ/4 iθ i(θ−π/4)Plusprécisément,q−d= = 2e 10e = 5e .Quand
2 2
M décritle cercleΓ,θ décritR,θ−π/4 décritR et le pointQ décrittoutp
lecercledecentreD etderayon 5.
Pondichéry 2 16avril2009b
b
b
b
b
b
A.P.M.E.P. CorrigédubaccalauréatS
EXERCICE 2 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
z =ietz =1+2i.A B
1. Les points O et A sont distincts et les points A et B aussi, il existe donc une
unique similitude directeS telle que:S(O)=AetS(A)=B.(Similitudedéfinie
parlesimagesdistinctesdedeuxpointsdistincts)
′2. Onnote z =az+b l’écriturecomplexe delasimilitudeS.
S(O)=A⇐⇒z =a×0+b⇐⇒b=i,A
S(A)=B⇐⇒z =az +b⇐⇒1+2i=ai+i⇐⇒ai=1+i⇐⇒a=1−i.B A
′L’écriturecomplexedeS estdoncz =(1−i)z+i  p 2 cos(θ)=p 2pLecomplexe1−iapourmodule 2etpourargumentθtelque 2 sin(θ)=−
2
π
soitθ=−
4
LepointinvariantparS estlepoint?(ω)vérifiant:
w=(1−i)ω+i⇐⇒iω=i⇐⇒ω=1 p π
S estunesimilitude directedecentre?(1),derapport 2etd’argument− .
4
3. a. Lesaffixesz despoints A vérifientz =0etz =(1−i)z +i.Enoutre,n n 0 n+1 n
puisque?(1)estcentredeS,onaz −1=(1−ı)(z −1).Lasuite(z −1)n+1 n n
est doncgéométrique de raison 1−i et depremier terme z −1=−1. Et0
n npourtoutn,z −1=(−1)(1−i) ,soitz =1−(1−i) .n n
−−−→ nb. ?A apouraffixez −1=−(1−i) .n n−−−−−−→ n n+1 nA A apouraffixez −z =(1−i) −(1−i) =(1−i) i.n n+1 n+1 n
z −zn+1 n −iπ/2Pour tout n, =−i= e donc (Interprétation géométrique
z −1n ? ?−−−→ −−−−−−→ π
d’unquotient),?A =A A et ?A , A A =− .n n n+1 n n n+1 2
c. Le triangle?A A est donc un triangle rectangle isocèle indirect den n+1
sommet A . Les points successifs se construisent donc en traçant desn
trianglesrectanglesisocèles.
B=A A32
A= A1
~v
A4
u~ ?O=A0
−−→ −−−→
4. Le point (A ) appartient à la droite (?B) si et seulement si (?B ,?A )=kπ,n n
(k∈Z). ? ? ? ?−−→ −−−→ z −1 πn n−2Or(?B ,?A )=Arg =Arg((1−i) )=(n−2) − doncn
z −1 42−−→ −−−→ n−2
(?B ,?A )=kπ⇐⇒− =k⇐⇒n−2=−4k⇐⇒n≡2 (mod 4)n 4
Pondichéry 3 16avril2009A.P.M.E.P. CorrigédubaccalauréatS
EXERCICE 3 4points
Communàtouslescandidats ? ?→− →− →−
Dans un repère orthonormé de l’espace O, ı ,  , k A a pour coordonnées (1, 1,
0),B(2,0,3),C(0,−2, 5)etD(1,−5, 5).
Proposition1:L’ensembledespointsM decoordonnées(x, y, z)telsque y=2x+4
estunedroite.FAUX
L’équation y = 2x+4 caractérise un plan passant E(0,4,0) et de vecteur normal
~n(2,−1,0)
Proposition2 : La transformation qui, à tout point M de l’espace associe le point−−−→ −−→ −−→ −−→′ ′M tel que MM =MA +MB +2MC est l’homothétie decentreG,oùG désignele
barycentredusystème{(A, 1), (B, 1), (C, 2)},etderapport3.FAUX.−−−→ −−→′L’égalité vectorielle s’écrit encore MM =4MG (réduction vectorielle), soit encore−−−→ −−→′GM =−3GM ,caractérisantunehomothétiedecentreG etderapport−3.
Proposition3:A,B,CetDsontquatrepointscoplanaires.FAUX−−→ −−→ −−→
Les vecteurs DA (0, 6, −5), DB (1, 5, −2) et DC (−1, 3, 0) ne sont pas coplanaires.−−→ −−→
En effet, les vecteurs DA etDC ne sont pas colinéaires (composantes nulles diffé-−−→ −−→ −−→
rentes)etDB n’estpascombinaisonlinéairedeDA etDC . −y = 1−−→ −−→ −−→
EneffetDB =xDA +yDC ⇐⇒ 6x+3y = 5 Équationsincompatibles. −5x = −2
Proposition 4 : La sphère de centre ? de coordonnées (3, 3, 0) et de rayon 5 est
tangenteaupland’équation:2x+2y+z+3=0.VRAI.
|2×3+2×3+0+3|
Ladistancedupoint?auplanestégaleà =5doncestégaleaup
2 2 22 +2 +1
rayondelasphère.
EXERCICE 4 4points
Communàtouslescandidats
1. a. Il s’agit d’une expérience à deux issues avec une probabilité de succès
1 5
p= et une probabilité d’échec q= que l’on répète de manière in-
6 6
dépendante3fois.Xreprésentelenombredesuccèsetsuitdoncuneloi
1binomialedeparamètresn=3etp= .
6
b. L’espéranced’uneloibinomialedeparamètresn etp estnp.Donc
1 1
E(X)=3 =
6 2? !
3 5 52 1c. P(X=2)= p q =3× = .
32 6 72
2. a.
5/72 A
D1/2
A
2/9 A
1/2 D
A
L’événement « choisir le dé équilibré et obtenir exactement deux six »
correspondàD∩A
1 5 5
p(D∩A)=p(D)×p (A)= × = .D 2 72 144
Pondichéry 4 16avril2009A.P.M.E.P. CorrigédubaccalauréatS
L’événement «choisirledétruquéetobtenirexactement deuxsix »cor-
respondàD∩A.
p(D∩A)=p(D)×p (A).D
Onutiliseunraisonnement analogueau1.c.,? !
3 1 2 1 2 1′2 ′1 ′p (A)= p q oùp = .Doncp (A)= etp(D∩A)= × = .D D2 3 9 2 9 9
5 16 21 7
b. Onendéduitquep(A)=p(D∩A)+p(D∩A)= + = = .
144 144 144 48
p(D∩A) 1 48 16
c. Ils’agitdecalculerp(D sachant A)= = × = .
p(A) 9 7 21? ?n5n3. a. p (B )= 1−p («n’obteniraucun6 »)= 1−q = 1− . De mêmeD n D
6? ?n2
p (B )=1− .Onappliquealorslaformuledesprobabilitéstotales:nD 3 ? ? ? ?n n1 5 1 2
p =p(B )=p(D)×p (B )+p(D)×p (B )=1− − .n n D n nD 2 6 2 3? ? ? ?n n5 2 5 2
b. lim =0et lim =0car et appartiennentà]−1;1[.Donc
n→+∞ n→+∞6 3 6 3
lim p =1.Cerésultatestprévisiblecar,quelquesoitledé,àconditionn
n→+∞
dejouersuffisamment longtemps, onaunequasicertituded’obtenirau
moinsunefoisun6.(ici,p >0,99etp ≈1).22 100
Pondichéry 5 16avril2009