Cours sur le calcul vectoriel

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Niveau: Secondaire, Lycée
Bac Pro indus Cours sur le calcul vectoriel 1/4 CALCUL VECTORIEL - PRODUIT SCALAIRE I) Vecteurs dans le plan L'utilisation des vecteurs dans le plan facilite les travaux sur certaines grandeurs physiques. 1) Définir un vecteur - sa direction : la direction du vecteur uG est la droite (AB). - son sens : le sens du vecteur uG est de A vers B. - sa norme : la norme du vecteur uG notée : uG est la mesure de la longueur du segment [AB] 2) Réaliser la somme ou la différence de deux vecteurs Réaliser une construction géométrique 3) Déterminer les coordonnées d'un vecteur dans un repère orthonormal Réaliser un calcul ; les coordonnées de AB JJJG sont (x ; y) d'où AB xi y j= +JJJG G G ou ( ) ( )B A B AAB x x i y y j= ? + ?JJJG G G 4) Calculer la norme d'un vecteur dans un repère orthonormal Remplacer les valeurs des coordonnées du vecteur uG = ABJJJG dans l'une des expressions littérales ci-dessous, puis calculer la norme du vecteur uG : u ? ? ( )? ( )?B A B Ax y x x y y= + = ? + ? G II) Produit scalaire de deux vecteurs dans le plan Le produit scalaire des vecteurs uG et vG du plan est le nombre réel noté u v?G G .

  • produit scalaire

  • équation cartésienne de la droite perpendiculaire

  • nuls ug

  • ug

  • ab am?

  • coordonnées


Publié le : mardi 19 juin 2012
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http://maths-sciences.fr BacPro indus CALCUL VECTORIEL - PRODUIT SCALAIRE I) Vecteurs dans le plan L’utilisation des vecteurs dans le plan facilite les travaux sur certaines grandeurs physiques. 1) Définir un vecteur G -sa direction:la direction du vecteuruest la droite (AB). G -son sens:le sens du vecteuruest de A vers B. GG -sa norme: la norme du vecteurunotée :uest la mesure de la longueur du segment [AB] 2) Réaliser la somme ou la différence de deux vecteurs Réaliser une construction géométrique G GG G G G u+vuvuuG G vv3) Déterminer les coordonnées d'un vecteur dans un repère orthonormal JJJGJJJG G G Réaliser un calcul ; les coordonnées deABsont(x;y)d'oùAB=xi+y jou JJJG G G AB=(xBxA)i+(yByA)j 4) Calculer la norme d'un vecteur dans un repère orthonormal GJJJG Remplacer les valeurs des coordonnées du vecteuru =Bl'une des expressions dans G littérales ci-dessous, puis calculer la norme du vecteuru: G u=²+y²=(xx+(yyB AB A II) Produit scalaire de deux vecteurs dans le plan G GG G Le produit scalaire des vecteursuetvdu plan est le nombre réel notéuv. 1) Calculer le produit scalaire de deux vecteurs Il faut utiliser l'une des expressions suivantes.-Expression du produit scalaire en fonction des normes desvecteurs : G GG GG2G2G2 1 Pour deux vecteursuetv,le produit scalaireuvest le nombre:u+vuv2Cours sur le calcul vectoriel1/4
http://maths-sciences.frPro indus Bac -Expression analytique du produit scalaire : G G Pour deux vecteursuetv, de coordonnées (x;y) et (x’;y’) dansun repère orthonormal, le G G produit scalaireuvest le nombre :×x'+y×y'-Expression géométrique du produit scalaire :G GGG G Pour deux vecteursuetv, formant un angleu;v, le produit scalaireuvest le nombre : ) G GG u×v×cos u;v) G GG G Notation:uvse lit « vecteuruscalaire vecteurv». G GG Remarques : -siuv>0 alors l'angleu;vest aigu ( ) G GG  -siuv<0 alors l'angleu;vest obtu ( ) G GG G2 2 Le carré scalaire d'un vecteur est le carré de sa norme :uu=u=u. 2) Propriétés du produit scalaire GJG Pour tous vecteursu,vetwet pour tout nombreαréel : GGGGGJGGGGJG αuv=αuv ;u v+w=uv+uw( )( ) G G 3) Montrer que deux vecteursuetvnon nuls sont orthogonaux G GG G Si le produit scalaireuv=0 alors les vecteursuetvsont orthogonaux. (uv). III) Application du produit scalaireCertaines questions de problèmes se résolvent àpartir du calcul du produit scalaire de deuxvecteurs du plan.G G 1) Calculer la mesurede l'angleu;v( ) G G Pour deux vecteurs non nulsu(x, y)etv(x’,y’) : G G - Calculer le produit scalaireuv=xx'+yy' - Calculer le cosinus de l'angleθen utilisant la relation suivante G G uv xx'+yy'  cosθ=G G=u×v²+y²x' ²+y' ² -Calculer la mesure de l'angleen utilisant les touches INV et COS
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http://maths-sciences.frPro indus Bac 2) Déterminer une équation d'un cercle de centreAet de rayonRdonné JJJJJG2 -Déterminer l'ensemble des pointsM(x,y) tel que:M=R². SiAa pour coordonnées (a,b),alorsAMa pour coordonnées(xa, y-b), d'où une équation 2 2 2 du cercle :(a)+(yb)=R3) Déterminer une équation cartésienne de la droite perpendiculaire à une droite (AB) au pointAJJJG JJJJG -Déterminer l'ensemble des pointsM(x,y)tels que :ABAM=0. Exemple :On considère les pointsA(2 ; -6) etB(0 ; 2). On cherche à déterminer une équation cartésienne de la droite perpendiculaire à la droite (AB) au pointA. Pour cela, on détermine l'ensemble des pointsM(x,y) tels que: JJJG JJJJGJJJG JJJJG ABAM=0avecB(-2 ; 8) etM(x– 2 ;y+6), d'où :-2(x2) + 8(y+ 6) = 0 c'est-à-dire : -x +4y+ 26 = 0. IV) Vecteurs dans l’espace (dimension 3) L’utilisation des vecteurs dans l'espace faciliteles travaux sur certaines grandeurs.1) Coordonnées d'un point dans l'espace Dans l'espace (dimension 3), les coordonnées du point A sont (xA,yA,zA)dans le repère G GG orthonormalO,i,j,k, d'où :( ) JJGGGG OA=x i+y j+z kA AA 2) Coordonnées d'un vecteur JJJG Soient les pointsA(xA,yA,zA)etB(xB,yB,zB), les coordonnées du vecteurBsont : (x,yy,zz)B AB AB A 3) Coordonnées de la somme de deux vecteurs ou du produit d'un vecteur par un nombre réel Somme de deux vecteurs G GG G Soient les vecteursu(x;y;z) etv(x’;y’;z’). Les coordonnées du vecteuru+vsont : (x+ x’;y+y’;z+z’). Cours sur le calcul vectoriel3/4
http://maths-sciences.frPro indus Bac Multiplication d'un vecteur par un réel G G Soient le vecteuru(x;y;z) et le nombre réelα. Les coordonnées du vecteurαusont : (x;αy;z) 4) Norme d'un vecteur dans l'espace G Soit un vecteurucoordonnées ( deX,Y,Z) dans le plan muni du repère orthonormal G GGGG G O,i,j,k, la norme du vecteuru(notéeu) est :u=²+Y²+Z² ( ) V) Produit scalaire de deux vecteurs dans l’espace G GG G Le produit scalaire des vecteursuetvde l'espace est le nombre notéuv. 1) Calculer le produit scalaire de deux vecteurs dans l'espace Utiliser l'une des deux expressions suivantes. Expression géométrique du produit scalaire G GGG G Pour deux vecteursuetvformant un angleu,v ,le produit scalaireuvest le nombre : ( ) G GG u×v×cos u;v( ) Expression analytique du produit scalaire G G Pour deux vecteursuetv, de coordonnées (x;y;z)et (x’;y’;z’) dans un repère othonormal, G GG le produit scalaireuvest le nombre:uv=xx'+yy'+zz' Remarque:si l'un au moins des vecteurs est le vecteur nul, alors le produit scalaire est nul. G G 2) Montrer que deux vecteursuetv, non nuls, sont orthogonauxG G -Calculer le produit scalaireuv. G GG GG G - Si le produit scalaireuvest nul, alors les vecteursuetvsont orthogonaux. (uv). G G 3) Calculer la mesureθde l'angleu,v( ) G G Pour deux vecteurs non nulsuetvde coordonnées (x;y;z)et (x’;y’;z’) G G - Calculer le produit scalaireuv=xx'+yy'+zz' G G u v - Utiliser la relation suivante :cosθ=G Gu×v - Déterminer la valeur de l'angleen utilisant la calculatrice.
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