Cours sur les dérivées

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Niveau: Secondaire, Lycée
Bac Pro tert Cours sur les dérivées 1/3 DÉRIVÉE D'UNE FONCTION I) Notion de tangente Considérons la parabole (P) d'équation y = ? 1 2 x ? et la droite (d) d'équation y = 3 2 x? ? . On étudie l'intersection de la parabole avec la droite : on doit pour cela résoudre le système : ? 1 2 3 - - 2 xy y x ? = ???? ? =?? On a : ? 31 2 2 x x? = ? ? soit : ? 1 2 2 x x+ + = 0 Ce qui donne x? + 2x + 1 = 0 puis (x + 1)? = 0. On a donc une racine double x = -1. La droite et la parabole ont un seul point commun. On dit que la droite (d) est tangente à la parabole (P) au point A(-1 ; - 2 1 ) Définition : Une parabole et une droite sont dites tangentes si elles ont en commun un point double, appelé point de contact. Nous admettrons qu'en tout point d'une parabole, il existe une droite tangente et une seule.

  • intersection de la parabole avec la droite

  • droite tangente

  • racine double

  • parabole

  • tangente

  • équation de la tangente au point d'abscisse x0

  • coefficient directeur de la tangente


Publié le : mardi 19 juin 2012
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http://maths-sciences.frPro tert Bac DÉRIVÉED’UNEFONCTIONI)Notion de tangentex² 3 Considérons la parabole (P) d’équationy=1et la droite (d) d’équationy =x%.2 2  (P) 1 0 1 (d) On étudie l’intersection de la parabole avec la droite : on doit pour cela résoudre le système : x² y%1 2 3 y1-x-2 x² 3x² 1 On a :%11 %x% soit:x#= 0Ce qui donnex² + 2xpuis (+ 1 = 0x+ 1)² = 0. 2 22 2 On a donc une racine doublex= -1. La droite et la parabole ont un seul point commun. On dit que la droite (d) est tangente à la 1 parabole (P) au pointA(-1 ; -) 2 Définition: Une parabole et une droite sont dites tangentes si elles ont en commun un point double, appelé point de contact. Nous admettrons qu’en tout point d’une parabole, il existe une droite tangente et une seule. Cours sur les dérivées1/3
http://maths-sciences.fr BacPro tert II) Nombre dérivé d’une fonction en un point. x² 1 On reprend l’exemple de la fonctionf:x1. Au pointA), il y a une tangente à(-1 ; -2 2 3 (P) d’équationy=x%-1., donc de coefficient directeur 2 Nous dirons que le nombre –1, coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse –1, est le nombre dérivé de la fonctionfau point d’abscisse –1 et nous le noteronsf ’(-1). y f(%1) L’équation de la tangente est donc :f'(%1) ouencorey=f’(1)(x+1) +f(-1) x%(%1) Définition: Considérons une fonction numériquefsur un intervalle définieIsa courbe et représentative (C) dans un repère orthonormal. Si au pointA(x0,f(x0)) de la courbe (C), il existe une tangente à (C) non parallèle à l’axe des ordonnées, alors on dit que la fonctionfest dérivable au pointx0. Le coefficient directeur de la tangente, notéf’(x0) est appelé nombre dérivé de la fonctionfau point d’abscissex0. L’équation de la tangente au point d’abscissex0est :y=f’(x0)(x - x0) +f(x0). III) Fonction dérivées des fonctions usuelles Définition: Si en tout point d’un intervalleI, une fonction numériquef admetun nombre dérivé, alors on appelle fonction dérivée première et on notef’la fonction qui à tout réelxde l’intervalleIassocie le nombre dérivé de la fonctionfen ce point.Propriétés Soitfetgdeux fonctions numériques, définies et dérivables sur un intervalleIet soitkune constante réelle : - La fonctionF:xkf(x)est dérivable surIetF’(x)=kf’(x).- La fonctionG:xf(x)+ g(x) est dérivable surIetG’(x) =f’(x)+ g’(x)- Sif’(x) ne s’annule pas surI, alors la fonction 1 '(x) H:xest dérivable surIetH’(x)= (x) ((x))² Cours sur les dérivées2/3
http://maths-sciences.frPro tert Bac IV) Application des dérivées à l’étude des fonctions Propriétés Considérons une fonction numériquef, définie et dérivable sur un intervalleI.  Sif’(x) = 0 alorsfest constante surIPour tout réelxdeI, Sif’(x) < 0 alorsfest décroissante surI Sif’(x) > 0 alorsfest croissante surISi pour une valeur dex0deI,f’(x0) = 0 avec changement de signe, alors la fonctionfpasse par un extremumx = x0. x x0x x0f’(x)- 0 +f’(x)+ 0 -Sens deSens de maximum variation variation minimumdef defV) Tableau des dérivées des fonctions usuelles Fonctionf Fonctionf’xk x0xx x1xx² x2x 3 xx x3x²1 1 xx-² xax+b xa xax²+bx+c x2ax+b 3 xax +bx²+cx+d x3ax²+2bx+c n*n-1 xax (n) xnax k k xx²
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