Cours sur les fonctions numériques usuelles

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Niveau: Secondaire, Lycée
Bac Pro indus Cours sur les fonctions numériques usuelles 1/7 LES FONCTIONS NUMÉRIQUES USUELLES I) Généralités 1) Définition Soit I un intervalle de \ , une fonction est une relation qui associe à tout élément x de I, un nombre réel f(x) au plus. f : I 6 \ x 6 f(x) x est la variable et f(x) est l'image de x. On note y = f(x). L'ensemble des éléments de I ayant une image est appelé ensemble de définition, noté E. 2) Représentation graphique Dans un plan muni d'un repère, la représentation graphique C d'une fonction f est l'ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)). y = f(x) est une équation cartésienne de C. 3) Sens de variation d'une fonction Si pour tous nombres x1 et x2 d'un intervalle I = [a ; b], tels que x1 < x2 on a : - f(x1) < f(x2), alors la fonction est croissante sur I (fig 1) - f(x1) > f(x2), alors la fonction est décroissante sur I (fig 2) - f(x1) = f(x2), alors la fonction est constante sur I (fig 3) 0 x f(x) 0 x1 x2 f(x2) f(x1) 0 x1 x2 f(x1) f(x2) 0 x1 x2

  • origine du repère

  • centre de la symétrie

  • courbe représentative

  • axe des ordonnées

  • droite parallèle

  • asymptotes de la courbes


Publié le : mardi 19 juin 2012
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http://maths-sciences.frBac Pro indusLES FONCTIONS NUMÉRIQUES USUELLES I)Généralités1) Définition SoitIun intervalle de\, une fonction est une relation qui associe à tout élémentxdeI, un nombre réelf(x)au plus. f: I6\x6f(x)xest la variable etf(x)est l’image dex. On notey=f(x). L’ensemble des éléments deIayant une image est appelé ensemble de définition, notéE. 2)Représentation graphiqueDans un plan muni d’un repère, la représentation graphiqueCd’une fonctionfest l’ensemble des points de coordonnées (x;f(x)). y=f(x)est une équation cartésienne deC. f(x) 0x3)Sens de variation d’une fonctionSi pour tous nombresx1etx2d’un intervalleI= [a;b], tels quex1<x2on a : -f(x1) < f(x2), alors la fonction est croissante surI(fig 1) -f(x1) > f(x2), alors la fonction est décroissante surI(fig 2) -f(x1) = f(x2), alors la fonction est constante surI(fig 3)f(x2) f(x1) f(x2) =  f(x1) f(x1)f(x2) 0x1 x20x1 x20x1 x2 fig 1 fig 2 fig 3 Cours sur les fonctions numériques usuelles 1/7
http://maths-sciences.frBac Pro indusUne flèche indique, dans le tableau de variation, le sens de variation de la fonction. ax b Sens de Cas d’une fonction variation de croissante sur l’intervalle la fonction [a;b] f4)ParitéSoit une fonction définie sur un intervalleItel que sixI, alors–xI. a)fest une fonction paire si pour toutxdeI:f(-x) = f(x).Dans un repère orthonormal, sa courbe représentative présente une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées. f(-x) = f(x) -x0b)fest une fonction impaire si pour toutxde I :f(-x) = - f(x). Dans un repère orthonormal, sa courbe représentative présente une symétrie centrale par rapport à l’origine du repère. f(x) -x 0xf(-x)
Cours sur les fonctions numériques usuelles 2/7
http://maths-sciences.frBac Pro indusII) Fonction affine 1)Définition On appelle fonction affine, toute fonction définie par une expression de la formef(x) = ax + b;aetbétant des réels. Remarque : Une fonction linéaire (x6ax) est une fonction affine particulière (b= 0). 2)Représentation graphiqueLa représentation graphique d’une fonction affine dans un repère cartésien est une droite non parallèle à l’axe des ordonnées. y = ax + best une équation de la droite représentative.  coefficient directeur ordonnée à l’origine a b 1  0 Dans le cas particulier oùa0, la fonction s’écrit = f(x) = b;f est une fonction constante représentée par une droite parallèle à l’axe des abscisses. 3)Coefficient directeurLe coefficient directeuradroite d’une Dpar les points passant A (xA;yA) etB (xB;yB) est donné par la relation : y-y B A a=-x B A yB+BxA 0xBA+ yACours sur les fonctions numériques usuelles 3/7
http://maths-sciences.frBac Pro indusIII) Les autres fonctions usuelles 1) fonctionf:xax²La représentation graphique defest une parabole. La fonctionfest paire :f(-x) = a(-x= ax²= f(x) cas acas où> 0 a< 0 1 0 1 1 0 1 x0x0  0 f f 0 2) fonction « racine carrée »:x6xDans un repère orthonormal, la représentation graphique de la fonctionf:x6se déduit de la représentation graphique de la fonction « carrée »,x6x² par une symétrie d’axe la droite d’équationy=x.  y = x²  y = x  y =
x f
0
0
1
0
1
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http://maths-sciences.frBac Pro indusa 3) fonctionf:x6
a La représentation graphique de la fonctionf:x6 est une hyperbole. La fonctionfest
a impaire :f(-x) = =-= - f(x) -a L’hyperbole présente une symétrie ayant pour centre l’origine du repère.  cas a> 0 cas oùa< 0 1 1 0 10 1 x0x0 f f Pour de grandes valeurs dexou dey, la courbe « se rapproche » des axes du repère : on dit que les axes sont des asymptotes de la courbes. 3 4)fonctionf:xx3 3 3 La fonctionf:xxest impaire :f(-x) = (-x)= -x = -f(x)La représentation graphique admet l’origine du repère comme centre de symétrie. 1 x0 0 1f
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http://maths-sciences.frBac Pro indusIV) Courbes représentatives et opérations sur les fonctions 1)Représentation graphique def+gLa représentation graphiqueCf+gde la fonctionf + gest obtenue point par point à partir des courbesCfetCgreprésentatives des fonctionsfetg: pour une abscissex1donnée, l’ordonnée du point de la courbeCf+gs’obtient en additionnant les ordonnéesf(x1)etg(x1)des points des courbesCfetCg.  Cf+gCgf(x1) + g(x1) g(x1) Cf f(x1) 0 Addition point par point des courbesCfetCg2)Représentation graphique deλLa représentation graphiqueCde la fonctionλf est obtenue point par point à partir de la courbeCf: pour une abscissex1 donnée, l’ordonnée du point de la courbeCen s’obtient multipliant l’ordonnéef(x1)du point deCfparλ. C 2  2f(x1)Cf(x1)1 C  (x)11 2 2 0x1 1 Construction des courbesCpourλ= etλ= 2 λ 2
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http://maths-sciences.frBac Pro indusV) Interprétation graphique def0 etfg1)Résolution graphique de l’inéquationf(x)0Soit la représentation graphiqueCffonction d’une f; soitx1 etx2 les abscisses des points d’intersection deCfavec l’axe des abscisses. La lecture du graphique permet d’établir quef(x)0 pourx1xx2. C f1 0 1x1x22)Résolution graphique de l’inéquation(x)g(x)SoitCfetCgles représentations graphiques des fonctionsfetg; soitx1etx2les abscisses de leurs points d’intersection. La lecture du graphique permet d’établir que :f(x)g(x)pourx1xx2.  C f
C  g1 01x1 x2
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