E3A 2000 mathematiques b classe prepa psi

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C22M concours CONCOURS ENSAM - ESTP - ENSAIS - ECRIN - ARCHIMEDE Epreuve de Mathématiques 2 durée 4 heures Exercice 1 P désigne le plan afine euclidien rapporté à un repère orthonormé direct (O, T,?), n est un entier naturel supérieur ou égal à 2. A, , A2 , . . . . ,’ A, sont n éléments 2 à 2 distincts de P dont les affixes respectives sont notées al ,a2 ......, a, . E est l’ensemble des points Al ,A2 ,......,A, . On note r ( E ) l’ensemble des points A4 de P n’appartenant pas à E et vérifiant la relation : 1” Soit Mun point de P, n’appartenant pas à E, d’affixe z. Montrer qu’il appartient à r ( E ) ,1 si, et seulement si, =O. c,, k=l n 2” On considère le polynôme Q(X) défini par : Q(X) = n(X -ak). On note Q‘( X) son k=l polynôme dérivé. a) Onpose: R(X)=- . Déterminer la décomposition en éléments simples de Q(X> R( X) dans l’ensemble des fractions rationnelles à coefficients complexes. b) En déduire que l- ( E ) est l’ensemble des points A4 de P dont l’affixe z vérifie : Q’(z)=O. c) En déduire que, si p est le nombre d’Cléments de r ( E )’ on a : 1 5 p 5 n - 1 . d) Dans le cas particulier où n = 2, préciser r ( E ). Dans la suite de l’exercice, on suppose n 2 3. 3” Soit r une rotation du plan P. Etablir que : r(r(E)) = r(r (E)). On rappelle que E est l’ensemble des n sommets d’un polygone régulier si, et seulement si, E 2z est invariant par une rotation d’angle - . n 4” Montrer que, si E est l’ensemble des n sommets d’un polygone régulier, ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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