E3A 2001 mathematiques b classe prepa psi

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J. 4997 CONCOURS ENSAM - ESTP - ENSAIS - ECRIN - ARCHIMEDE Epreuve de Mathématiques 2 durée 4 heures Exercice 1 P désigne le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé (0, F, j’) , k est un réel strictement positif On note (~,y) le couple des coordonnées d’un point ude P. Soit (y ) I’hyperbole équilatère d’équation cartésienne : xy = k . 1 O On considère trois points A, B, C de (y ) , deux à deux distincts, dont les abscisses sont notées a, b, c respectivement. a) Déterminer les coordonnées (a,P) du centre de gravité G du triangle AK. b) les (A,,u) de l’orthocentre H du triangle AK’. Vérifier que H appartient à (y ) . 2” On suppose, dans cette question, que ABC est un triangle équilatéral. a) Que peut-on dire de G et H ? b) Montrer que a, b, c sont les racines du polynôme P(X) avec : k2 k2 P(X)=X3-32x2-3 -x+y. A2 c) On appelle sommets de (y ) les points d’intersection de (y ) avec la droite d’équation : y = x . On suppose que H n’est pas l’un des sommets de (y ) . Montrer que l’intersection du cercle circonscrit au triangle AK avec (y ) contient un point D distinct de A, B, C. Préciser les coordonnées de D. 3” Soit I un réel non nul et Q(X) le polynôme défini par : k2 k2 Q(X)=x’-3rX2-3 TzX+7. a) Déterminer le signe du produit Q(O)Q(r) . En déduire que Q(X) admet trois racines réelles deux à deux distinctes et non nulles notées rl ,r2 ,r3 . b) Soient R, ,R2 ,R3 les points de (y ) d’abscisses respectives rl ,r2 ,r3 . Démontrer que le ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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