E3A 2002 mathematiques b classe prepa mp

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I25H J. 2079 CONCOURS ENSAM - ESTP - ECRIN - ARCHIMEDE Epreuve de Mathématiques 2 MP durée 3 heures L’utilisation de la calculatrice n’est pas autorisée Exercice 1 On rappelle qu’une fonction f définie sur un intervalle [c, d] de lR est afine s’il existe des réels A, B tels que Vx E [c, d], f(x) = Ax + B. Soit [a, b] un intervalle de IR. On note C([a, b]) le R- es p ace vectoriel des fonctions continues sur [a, b] à valeurs réelles. Soit n un entier naturel non nul et soient ae, ai,. . . , a,-~, a, (n + 1) réels tels que : a = a,-, < a1 < . . . < a,-1 < a,, = b en n intervalles [ai, ai+i], (0 < i < n). Ils définissent une subdivision de l’intervalle [a, b] ormé par les fonctions f : [a, b] -+ Iw dont On considère E le sous-ensemble de C([a, b]) f les restrictions à chaque intervalle [ai, ai+i] sont affines. 1”. Des exemples de fonctions de E (a) Soit i un entier tel que 0 5 i 5 n. On note Cpi la fonction définie sur [a,b] par : VX E [a, b], cpi(x) = IX - ai ]. Montrer que vi est un élément de E. (b) Soit i un entier tel que 0 5 i 5 n. Montrer qu’il existe un unique élément bi de E, vérifiant : &(Ui) = 1 et pour tOUtj # i, bi(CZ3) = 0. 2”. On pose 23 = (60, bi, . . . , 6,) et C = (90,
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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