E3A 2004 mathematiques a classe prepa pc

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N54F c-on cou r-s ECRIN - ARCHIMEDE Concours ENSAM - ESTP - Epreuve de Mathématiques A PC durée 4 heures L'usage de la calculatrice n'est pas autorise Préliminaires On coiisidère la suite (ai)iEw définie par : 1. Etablir une relation de récurrence entre ai et ai+2? pour tout entier naturel i. 2. En déduire que : f1 si i = O, si i est' impair, (i - l)(i - 3) ... 1 si i est pair et non nul. i(i - 2) ... 2 Dans tout le problèine. I désigiie l'intervalle ] - 1, 1 1. On consicière l'équatioii diffkrenticlle : (1-x2)p'-;x.y=f(l.) (Ef ) oii f d6signe une fonction réelle de classe C" sur I : on rappelle qu'uue solution p de cette @quatioii est iiiie fonction dkrivable sur I telle que : b'x E I, (1 - r2) $'(J.) - ~t'p(r) = f(x). 1 partie 1 1. Soit y0 E R ; justifier qu’il existe une et une seule solution cp de (Ef). définie sur 1, et telle que p(O) = y0 ? On knoncera avec précision le théorème utilisé. 2. Montrer que toutes les solutions de (Ef) sont de classe C” sur I. 3. (a) Résoudre l’équation différentielle honiogène associée : (b) Etant donné un réel yo; démontrer que l’unique solution cp de l’équation différentielle (Ef) telle que ~(0) = y0 peut s’exprimer de la façon suivante : (c) Dans le cas particulier où l’équation différentielle est : (1-z)y 21 -zy=1 (81 1’ déterminer les solutions sur 1. partie II Pour m E N, on note %[XI l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à ni. On rappelle que c’est un R-espace vectoriel de ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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