E3A 2004 mathematiques b classe prepa psi

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50FJ concours CONCOURS ENSAM - ESTP - ECRlN - ARCHIMEDE Epreuve de Mathématiques B PSI durée 4 heures L’usage des calculatrices est interdit Exercice 1 R est le corps des nombres réels et n un entier naturel. E est le R espace vectoriel normé des applications continues de [ - n,n ] vers R muni de la norme de la convergence uniforme, ainsi pourfélément de E, 11 f 1) oo = 1 f(x) 1 . sup XE [ -7r,n] On considère un endomorphisme de E noté T vérifiant les deux propriétés (4 ) et (P2) suivantes : sifest un élément de E de classe C ’ , T( f ) est de classe C’ et T( f’) = T( f)’ . (4 ) et pour toute suite (f,) , qui converge dans ( E,II II oo ), la suite ( T(f, )), converge (P2) dans (E,ll I(_)et T( lim fn)= limT(fn). n++ ,++O0 Pour tout n, n 2 1, on considère les applications c, et s, de [ - n,n ]vers R définies par : c,(x) = cos(nx) et s,(x) = sin(nx) . On note c l’application de [ - n, n ]vers R définie par : c (x) = 1 . Le but de l’exercice est d’établir qu’il existe un réel A tel que : b’ f E E , T( f ) = A f . 1” Dans cette question on établit quelques résultats indépendants les uns des autres qui pourront être utilisés dans la suite de l’exercice. a) On suppose n 2 1 . Quelles sont les fonctions réelles solutions sur R de l’équation différentielle : y” + n2y = O ? b) Soitfun élévent de E. Prouver qu’il existe g et h appartenant à E tels que : f = g +h g est paire h est impaire. c) Soit @ l’application de R vers R, 2n - périodique, telle que : ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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