E3A 2005 mathematiques a classe prepa mp

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77µe3aConcours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE¶Epreuve de Math¶ematiques A MPdur¶ee 4 heuresL'usage de la calculatrice n'est pas autoris¶e.Si,aucoursde l'¶epreuve, uncandidatrepµerece quiluisemble^etre uneerreurd'¶enonc¶e,illesignalesursacopieetpoursuitsacompositionenindiquantlesraisonsdesinitiativesqu'ilest amene¶ aµprendre.ProbleµmePartie ISoit I un intervalle non r¶eduit aµ un point de R. On considµere l'¶equation di®¶erentielle sur I :00y + y = 0 (E )0© ª21. Montrer que l'ensemble des solutions de ( E ) sur I est x ! Acos x + Bsin x j (A;B) 2 R .0On suppose pour que les questions 2 et 3 que I est un intervalle de R non majore¶. ¡ ¢2n+12. Soit g une solution de (E ) sur l'intervalle I. Que peut-on dire des suites (g(n¼)) et g( ¼) ?0 n2N 2 n2N3. Soit g une solution de ( E ). On suppose que g(x) tend vers une limite ¯nie lorsque x tend vers +1. Montrer que g est0la fonction nulle.Partie II1 1Dans cette partie, on note C (R) le R-espace vectoriel des fonctions de classe C sur R et aµ valeurs r¶eelles.4On note C = fe ;e ;e ;e g la base canonique de R :1 2 3 4e = (1;0;0;0); e = (0;1;0;0); e = (0;0;1;0); e = (0;0;0;1):1 2 3 44Soit v = (a;b;c;d) dans R . On note h l'application d¶e¯nie sur R par :vh : x ! (ax + b)cos x + (cx + d)sin x:v4On note V l'ensemble des applications h lorsque v parcourt R .v11. Montrer que V est un sous-espace vectoriel de C (R).42. De¶montrer que l'application qui envoie le vecteur v sur l'application h d¶e¯nit un ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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` e3a ConcoursENSAM ESTP EUCLIDE ARCHIMEDE ´ Epreuve de Math´ematiques AMP dur´ee4heures
Lusagedelacalculatricenestpasautoris´e.
Si,aucoursdele´preuve,uncandidatrep`erecequiluisembleetreuneerreurde´nonce´, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives quilestamen´e`aprendre.
Probl`eme Partie I SoitIlleirusee´itnerde´rnonepnua`tiuniullvaerntle´e`eroidnuqtade.ointnsidOncoI: R 00+y=0 y)0 ( E 2 1. Montrerque l’ensembledes solutions de (0) surIestx Acosx+Bsinx(A, B) . R E →| ∈ ©Rª On suppose pour queles questions 2 et 3 queIe.r´jouninestlaeletvrnoamedn 2n+1 2. Soitgune solution de (0) sur l’intervalleIdire des suites (. Que peutong()) etg(π) ? E∈ ∈N n2 Nn 3. Soitgune solution de (0). On suppose queg(xnie lorsque) tend vers une limitexten¡d vers +¢. Montrerquegest E ∞ la fonction nulle.
Partie II Dans cette partie, on notevectoriel des fonctions de classele espace( ).selusr`aetlevasrurel´e R RR C4C On note=e1, e2, e3, e4la base canonique de: R C {} e1= (1,0,0,0), e2= (0,1,0,0), e3= (0,0,1,0), e4= (0,0,0,1). 4 Soitv= (a, b, c, d) dans. On notehvontied´ppacalira:linserup R R hv:x(ax+b) cosx+ (cx+d) sinx. 7→ 4 On noteVl’ensemble des applicationshvlorsquevparcourt . R 1. MontrerqueVdeest un sousespace vectoriel( ). R C 4 2.De´montrerquelapplicationquienvoielevecteurvsur l’applicationhveenerttdne´unitomisphormeisV. En R =hh ,h ,h ,est une base deV. de´duirequee1e2e3e4 B {} 4 3. Soitv= (a, b, c, d) dans. Exprimerl’applih0v0+hv(x). Onnoteψ(hv) cette application. cationx(x) R 7→ (i)De´montrerqueψest un endomorphisme deV. (ii)De´terminerlenoyaudeψest le rangde. Quelψ? (iii) Expliciterla matrice deψsur la base deV´e,de´e´einrmteton,duirnd´ebaseeuneqaeu`ela2nE.tsoieimagdelB deψ. 4.Onconside`rel´equationdie´rentiellesur: R y00+y= cosx(1) E R´esoudrele´quationdie´rentielle()sur. R 1 E
Dans le reste du probl`eme, on consid`ere l’´equation diff´erentiellesur+: R 1 y00+y= () xE Partie III 2 Danscettepartie,onconsid`erelafonctionFde´usrnei:par R xt eF(x, t) =. 2 1 +t 1. Soitxunr´fi.sotieepl 1a.D´emontrerlin´egalite´: 1 t+, F(x, t). R2 ∀ ∈1 +t + 1b.Ende´duirequelinte´graleF(x, t)dtest convergente. R 0 Onpeutdoncde´nirsur+une fonctionGen posant : R + x+, G(x) =F(x, t)dt. Z R ∀ ∈ 0 2.Enutilisantlin´egalit´ed´emontre´een1a,justierquelafonctionGest continue sur+nleisior´ecvecpaarecnone´nO. R th´eor`emeutilise´. 3.Onseproposedede´montrerqueGest d´erivable sur. Soit²nu´reeslemetcirtitisoptnf. R + 2∂ F 3a. Justi erqueFest de classeusD´etr.nerlermie´da´virapeeeitrellaoiup(ntx, t). R C ∂ x 3b.Enutilisantlin´egalit´e xt te²t x[²,+ [, t+,eR2 ∀ ∈∞ ∀ ∈1 +tquelonjustiera,d´emontrerlespointssuivants: + ∂F (i) Pourx >e,li0gralnt´e(x, t)dtest convergente. 0∂x R(ii) LafonctionG]0leesteinalrvlbseruldte´irav,+ [et on a +xt tex]0,+ [, G0(x) =dt. Z ∀ ∈∞ −01 +t 2 rivable sur+uesad´eriv´eee 4.Ensuivantlesmemes´etapesquepourlaquestion3,de´montrerqueGest deux fois d´et q R secondeve´rie: + 2xt ∞ − te x, G00(x) =dt. Z R2 ∀ ∈1 +t + 0 5. MontrerqueGnesoestue.tnerlleidnoie´i´elatqutiludeon E 6a.De´montrerqueGenpalpciseutrusetanssoicr´endioat+. R 6b.Ende´duirequeG(x) admet une limite lorsquexdnevetD.e´sr+inertermelimcett.eti Partie IV Soitfelrurse´leeldse´nieetcontinuesurncfoneuva`aontisuppose que. Onfv´eri eles quatre conditions suivantes R + : a.fest positive ; b.fest d´ecroissante ; c. limf(t) = 0 ; t+ → ∞ d. l’applicationgtou,pourtde´neitdans, parg(t) =tf(t) admet une limitenie lorsquettend vers 0 par valeurs R+ supe´rieures.
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1. Soitun nune suite strictement croissante de nombres positifs.On suppose que limn+un. Montrerque la= + N { }n→ ∞s´eriedetermege´ne´ral(1)f(unic´srpe´ecarneno(on´entevergtcon.)e´silitueemr`eoh´ettlenemes) 2. Montrer quesin(t)f(t) admet une limite lorsquetE.serueiriude´dnfolaueeqontincussrre´pvrapueladvens0ert sin(t)f(tavre[ell0ittn)seable´egrintsurl, x], pour toutx >0. | | 3. SoitnOn poseun entier naturel non nul.wn:aripn´eldeerl´e (n+1)π Z wn= sin(t)f(t)dt. | | 3a. Justi erl’encadrement :2f((n+ 1)π)wn2f(). 3b.Ende´duirequilexisteundans l’intervalle [nπ,(n+ 1)π] tel quewn= 2f(un).On´sicileoncevae´rpnonearec th´eor`emeutilise´. 3c. Montrerque : (n+1)π n Z wn= (1) sin(t)f(t)dt. 2(2n+1)π 4. Onconsid`ere les deux suitessin(t)f(t)dtet sin(t)f(t)dt. 0 0 n Ro nR o n n N N ∈ ∈ 24a. Montrerque lasuite sin(t)f(t)dtest croissante. 0 n Ro n N (2n+1)π 4b. Montrerque lasuite sin(t)f(t)dtets´dnte.ecroissa o 4c. Encomparant les termensRcanoillrtebase´,acundechencevergitsuuxdeesecdeedrentleelersvenusimiletlcommune. 0 n N y Pour tous r´eels positifsxetytels quex y, on poseIf(x, y) =sin(t)f(t)dt. x Rx+ 5.D´eduirede4.quelapplicationIf(x, y) admet une limitenie lorsquey. Ontend vers +note sin(t)f(t)dtcette R limite. + sin(t) 6. Soitxunr´eelednceexlteistsuJreiisop.fitIx=dt. x t R Partie V 1 1. Soitxnu´rlafonctionoM.fitiseuqrertnictrlseepontmetehrad:´eh(tyhsehtopese`s=),erv´elixnie sur+px x+t R de la partie IV.
Onpeutdoncde´nirunefonctionHsuren posant : R + + sin(t) Z x, H(x) =dt. R+ ∀ ∈t+x 0 2.Eneectuantunchangementdevariables,d´emontrerle´galit´e: + sin(t x) x, H(x) =dt. Z R + ∀ ∈xt 3. End´eveloppant sin(t xd´),onemertrequHdtsefxuedsioire´vablesuretquno:a R+ 1 x, H00(x) +H(x) =. R + ∀ ∈x
4. Quelle estla limite deH(x) lorsquextend vers +? 5. End´eduire que: x, H(x) =G(x), R ∀ ∈ + la fonctionGtant´eniedd´eparanalsII.itIe
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