E3A mathematiques 3 1999 pc classe prepa pc

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concours ESTP-ENSAM-ECRIN-ARCHIMEDEEpreuve de MATHEMATIQUES 3Filiere PCduree 4 heuresLes deux problemes sont independants.Probleme A2Si (p; q)2 (N ) ; M (R) designe le R espace vectoriel des matrices a p lignes et q colonnes, a coe cien tsp;qreels etM (R) =M (R) :p p;pUn element deM (R) est note (a ) ; 1 i p ; 1 j q:p;q i;jpUn vecteur de R ; rapporte a sa base canonique, et sa matrice dansM (R) sont notes par la m^eme lettre.p;1Si N est une norme surM (R) ; la suite (A ) ; ou n2 N ; d’elements deM (R) admet une limite B dansp;q n p;qnM (R) si et seulement si la suite reelle (N (A B)) a pour limite 0p;q n nOn note :lim A = B , lim N (A B) = 0n nn!+1 n!+1Les coe cien ts de la matrice limite B sont les limites des coe cien ts de la matrice A :nPartie I+On admettra que l’application, noteekk ; deM (R) dans R de nie par :p;qqX8A2M (R) ; kAk = max ja jp;q i;j1ipj=1est une norme surM (R) ; adoptee dans la suite du probleme et telle que ,8r2 N ( avec un abus d’ecriturep;qevident ) :8A2M (R) ; 8B2M (R) ; kABkkAkkBkp;q q;r1) Si A2M (R) , on note ( ) les valeurs propres de A dans C ; et (A) = max jj :p i i1ip1ipMontrer que : k k 8i2 [1; p] ; 8k2 N ; jj AiNEn deduire que si A est diagonalisable alors :klim A = 0 , (A) < 1k!+1( 0 designe la matrice nulle deM (R) )p2) A2M (R) ; b2M (R) ; A inversible.p p;1On considere une methode de resolution approchee de l’equation Ax = b , ou b est donne ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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concours ESTP-ENSAM-ECRIN-ARCHIMEDE Epreuve de MATHEMATIQUES 3 Filie`rePC dur´ee4heures
Lesdeuxprobl`emessontinde´pendants.
Proble`meA
2 Si (p, q)(N),Mp,q(Rgnele)d´esiRirotedlecapsceveas`eatsmceriplignes etq,sa`noenclotsciencoere´elsetMp(R) =Mp,p(R). Un´ele´mentdeMp,q(R)tnes´eot(ai,j),1ip ,1jq. p Un vecteur deR ,snadecie,quninotrmasaetoptre´a`asabesacrapMp,1(Rtteremelos).t´esntnoamˆeparl SiNest une norme surMp,q(R),la suite (An),ou`nN ,e´´lmenetsdedMp,q(R) admet une limiteBdans n Mp,q(Rmeleeutsie)sle(e´letirealustnisN(AnB)) apour limite 0 n On note : limAn=BlimN(AnB) = 0 n+n+Les coefficients de la matrice limiteBsont les limites des coefficients de la matriceAn. Partie I + Onadmettraquelapplication,not´eekk,deMp,q(R) dansRe´dr:paien q X A∈ Mp,q(R),kAk= max|ai,j| 1ip j=1 est une norme surMp,q(R),nsdasulaopadeet´euqellet,roupeditetme`eblrNutera(nabuvecuecrisd´ e´vident): A∈ Mp,q(R),B∈ Mq,r(R),kABk ≤ kAk kBk 1) SiA∈ Mp(R) , on note (λi) lesvaleurs propres deAdansC ,etρ(A) = max|λi|. 1ip 1ip Montrer que : k k   i[1, p],kN ,|λi| ≤A N End´eduirequesiAest diagonalisable alors : k limA= 0ρ(A)<1 k+(0d´esignelamatricenulledeMp(R) ) 2)A∈ Mp(R), b∈ Mp,1(R), Ainversible. Onconside`reuneme´thodeder´esolutionapproche´edele´quationAx=b,`oubonn´eetsedtxest l’inconnue. On de´composelamatriceAsous la formeA=MNo,u`MetNedstnemesont´el´deuxMp(R) , avecMinversible 1 etM Ndiagonalisable. 11 Le´quationAx=but`a´equivax=M Nx+M b.   (n) Onde´nitunesuited´ele´mentsdeMp,1(R), xo`u,nNpar : n (0) (n+1)1 (n)1 x∈ Mp,1(R) etnN , x=M Nx+M b (n) (0) a) Exprimerxen fonction deM, N, xet de la solutionxnioatque´ledAx=b.   (n) b)Donneruneconditionn´ecessaireetsusantepourquelasuitexconverge versx. n Partie II On donne la matriceA∈ Mp(R).   21 0. . . .0 1 21 0. . . . 01 2. . . . . .0. .1. . . A= . . .1 2. . . . . . . . .1 0     . . . . .1 21 0 0. . .01 2
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telle que : i ,1iap ,i,i= 2 ; i ,2ip ,ai,i1=1; i ,1ip1, ai,i+1=1; touslesautrescoecients´etantnuls. 1)Ipngnaltmade´is´eitderiatunceMp(R),soitDp= det(AλIp). pN , p2,trouver une relation entreDp, Dp1, Dp2etλ. On prendraD0= 1 etD1= 2λ. 2) Soitxurleopprresaericosa`e´avalunvecteurpropλde la matriceA. Montrer que|λ2| ≤diala`2edekA2Ipk 3) On pose 2λcos= 2θ ,0θπ. CalculerDpen fonction depetθ. Examiner les casθ= 0 etθ=π. Ende´duirelesvaleurspropresdeA. Aest-elle diagonalisable ?
Partie III Danslade´compositionA=MNeen´aunodI 2),Aest la matrice duIIet l’on poseM= 2Ip,do`u 1 N= 2IpAou`Ipde´te´dseignelamatriceuniMp(R).SoitJ=M N, J∈ Mp(R). Onreprendlame´thodeite´rativedeI 2). (n+1) (n) 1) PournN ,expliciter la matricexen fonction de la matricexet de la matriceb.sess´ePresicuotr e´l´ements.   (n) 2) Trouver les valeurs propres deJet calculerρ(J), ρi´nde´eteu´atnayaI 1).La suitexest-elle n convergente ? 3) Montrer que : 2 π 1ρ(J)2 2p Quelleconclusionpeut-onentirersurlutilisationdelam´ethodedanscecas? Probl`emeB Partie I 1) Soitx >0 etyR.On notefl’application de ]0,+[ dansRnied´:rape txt eecos(yt) f(t) = t Montrer quefrgue0a]rlnibs´etets,+[. 2) Montrer quet0,yR ,01cos(yt)≤ |y|teu:ndteeeqirdu´e   (x1)t e1 t >0,|f(t)| ≤+|y| t 3) Soitx >0 ;yRon note : Z +∞ −txt eecos(yt) F(x, y) =dt t 0 etFxl’application : RR Fx: yF(x, y). a) Montrer queFxest continue surR( On pourra distinguert >1 ett <1).Onevaaaerdgncone´recn pre´cisionlethe´ore`meutilis´e. 10 Ret calculeryR, F(y). b)Montrer queFxest de classeCsurx c)D´emontrerque:ε >0 +Z  Z  txtt ee e dt=dt t t ε ε End´eduireFx(0) puisF(x, y).
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Partie II. 1) a) SoityR .Montrer l’existence de A Z cos(yt) limdt , A+t 1 puis celle de A+Z Z tt ecos(yt)ecos(yt) limdt=dt . t t A+0 0 On pose encore : +Z t ecos(yt) F(0, y) =dt . t 0 b) Soity >0 etz >0.Montrer que l’applicationhde ]0,+[ dansRneide´ap:r t ecos(t) y tz t >0, h(t) =e t estinte´grablesur]0,+[.Dans la suitey >0. c) Montrer l’existence de : A+Z Z t t − − ecos(t)ecos(t) y y limdt=dt . t t A+0 0 On noteHl’application de ]0,+[ dansR:rape´dein
++Z Z t t − − ecos(t)ecos(t) y y tz z]0,+[, H(z) =e dtetH(0) =dt t t 0 0
2) Montrer queHest continue sur ]0,+[. 3)D´eterminerlimH(z). z+1 4) Montrer queHest de classeCsur ]0,+edd´enet[uirelavaleurdeH(z) pourz >0. 5) Pourt0 on pose : +Z u y ecos(u) ϕ(t) =du . u t
tz a) Montrer quez >0 l’applicationte ϕ(tselbarge0]rut´inst)e,+[ et que :
+Z tz H(z) =H(0)z eϕ(t)dt . 0
b)End´eduirequeHest continue en 0 ( on pourra remarquer quelimϕ(t) = 0 ). t+6) CalculerF(0, y) pouryR .
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