EA 1999 composition de mathematiques classe prepa pc

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CONCOURS D'ADMISSION A L'ECOLE DE L'AIR CONCOURS PC/PSI Duree : 4 heures Coefficient : 13 Remarques prCliminaires, notations et rCsultats admis L'tnoncC du probltme fera usage des notations ci-dessous. Les rCsultats suivants seront admis sans qu'il soit besoin de les justifier. On note R l'ensemble des nombres rtels, Q l'ensemble des nombres rationnels, N l'ensemble des entiers naturels, et 0 l'ensemble vide. Le coefficient du binôme sera nott de prtférence : n! (il= k!(n-k)! Liberté est toutefois laissée aux candidats d'utiliser en lieu et place de cette notation n! k!(n- k)! Dans tout le probltme, on considère des polynômes à coefficients réels de la variable réelle n x, f(x) = cukxk où, par convention, xo = 1, et u,, ..., uk E R. Le degré de I' est noté k =O do( P). Sa valeur est, par do( P) = n si un * O, et do( P) = -a si a, = ... = a,' = O, c'est-à-dire si 1' est le polynôme nul, ce que l'on note par f = O. Problème 1-1 Montrer l'existence et I'unicitd dune suite de polynômes { B,(x):n E N 1, tels que d"( R,) = n, Vn E N, et vtrifiant les identitds suivantes : (i) Ro(x)= 1 ; (ii) $B,(x)=nB,-,(x), Vnkl, neN; (iii) j:Rn(x)cir = O, ~n 2 1, n E N. 1-2 Montrer que les polynômes { B,,(x):n E N} vCrifient I'identitt. Vn E N, (iv) R,(l-x)=(-l)"B,,(x). 1-3 Montrer l'existence dune suite de constantes { b,, : n f N}, telles que, pour tout n E N, on ait I'identi tC Quelle relation lie b,, et B,,(O) ? 1-4 Etablir I'identitC, Vn E N, (vi) B, ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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