EA 2000 composition de mathematiques classe prepa pc

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ANNEE 2000 CONCOURS D'ADMISSION A L'ECOLE DE L'AIR CONCOURS PCPSI Durée : 4 heures Coefficient : 13 L'attention des candidats est attirée sur le fait que la notation tiendra compte du soin et de la rigueur apportés dans le travail. I l T. S.V.P. On notera dans la suite du problème: + N l'ensemble des entiers naturels. + 2 des relatifs. + C le corps des nombres complexes. On dkfinit une suite rkcurrente (F, : n E N), appelke suite de Fibonacci , par : F, =F, =1 , Vn 2 2 Fn = Fn-l + Fn-2 1/ a) Montrer que la suite (Fn : n E N) est définie de manière unique par m, et vérifie, pour tout n E N , les inégalités : 15F" 12". 1 En déduire que le rayon de convergence (désigné ici et dans toute la suite du problème par R) de la série entière de terme général ( Fnz" : n E N ), z E C, vérifie R > O. Pour les valeurs de = E C telles que la série soit convergente, on note la somme de celle-ci par : +a n=O pour une suite (bn : n E N>c Carbitraire, on écrit Ci-dessus, et dans la suite du problème, +O; S(z) = Cb,? pour exprimer que la somme de la série entière de terme général (bnz": n E N) est n=o égale à S(z) lorsque cette série converge. b) Soit a E C un nombre complexe arbitraire. On considère la série entière de terme général (an+l=n :n EN) ,z EC. Déterminer, en fonction de a, le rayon de convergence ra de cette série entière. Pour les valeurs de z E C telles que la série converge, on note la somme de celle-ci par : - , -- So(z) = Can+'=" n=O ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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