EA 2000 premiere epreuve classe prepa mp

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ANNEE 2000 CONCOURS D'ADMISSION A L'ECOLE DE L'AIR CONCOURS MP I PREMIÈRE ÉPREUVE I DE MATHEMATIQUES J Durée : 4 heures Coeficient : 13 L'attention des candidats est attirée sur le fait que la notation tiendra compte du soin et de la rigueur apportés dans le travail. L T.S.V.P. Dans tout ce problème on notera N l'ensemble des entiers naturels et R le corps des nombres réels. Ce problème propose détablir les principales propriétés d'un opérateur appelé transformateur de Laplace et noté L puis de calculer son action sur certaines fonctions. On définit pour cela un ensemble E formé des fonctionsfappartenant à l'espace vectoriel Co(R'*,R) et telles que, pour tout réel a strictement positif la fonction t H f(t)e-" soit intégrable sur R+*. Pour tout élémentfde E et tout réel x strictement positif, on pose alors: L-( J') = f(t)ëX.'dt Partie I : urouriétés de la transformée de Laulace d'un élément de E 1. Montrer que pour tout polyndme P de R[X], la fonction t H P(t) est ClCment de E. 2. Montrer que toute fonction fcontinue et intégrable sur R" est aussi élément de E. que les primitives d'une telle fonction fsur R+* sont aussi des Cléments de E. Montrer de même que toute fonction continue et bornée sur R+ est élément de E. 3. Montrer que E est un R-espace vectoriel. 4.Montrer que, pour tout élément fde E et pour tout entier naturel n, la fonction R+-+R t H t"f(t) est aussi élément de E. 5. Montrer que, pour tout élément fde E, L( f) est continue ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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