EA 2002 deuxieme epreuve classe prepa mp

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››››L'objet du problème est la recherche de lieux géométriques conduisant à l'étude de courbes planes(appelées en général cubiques circulaires). Les parties I et II donnent deux exemples de telles courbes.Dans la troisième partie, on considère le cas général.Dans toute la suite, le plan est rapporté à un repère orthonormé d'origine notée O, d'axes Ox et Oy eton désigne par a un nombre réel strictement positif donné.PARTIE IOn désigne par D la droite d'équation x = 2a et par C le cercle de centre M (–2a, 0), de rayon 2a.0Pour tout nombre réel θ, on désignera par :* H( θ) le point d'intersection, lorsqu'il existe, de la droite d'angle polaire θ et de la droite D.* M( θ) le point d'intersection de la droite d'angle polaire θ et du cercle C (avec la convention quelorsqu'il y a deux points d'intersection, M( θ) désigne le point d'intersection distinct de O).1°) Etude de la strophoïde droitea) Donner une équation cartésienne, puis une équation polaire du cercle C.b) Déterminer des coordonnées polaires de M( θ) et H( θ), puis du milieu I( θ) du segment [M( θ), H( θ)].En déduire, lorsque θ varie, que I( θ) décrit la courbe d'équation polaire :cos(2 θ)ra()θ = − .cos( θ)c) Exprimer r( θ + 2 ), r( + θ), r(– θ) en fonction de r( θ). Interpréter géométriquement ces résultats etindiquer sur quelle partie E de IR il suffit d'étudier la courbe pour obtenir la totalité de son support.d) Déterminer la limite de r( θ)sin( θ – /2) lorsque θ tend vers /2. Qu'en ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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L'objet du problème est la recherche de lieux géométriques conduisant à l'étude de courbes planes (appelées en général cubiques circulaires). Les parties I et II donnent deux exemples de telles courbes. Dans la troisième partie, on considère le cas général. Dans toute la suite, le plan est rapporté à un repère orthonormé d'origine notéeO, d'axesOxetOyet on désigne paraun nombre réel strictement positif donné.
PARTIE I On désigne parDla droite d'équationx=2aet parCle cercle de centreM0(–2a, 0), de rayon 2a. Pour tout nombre réelθ, on désignera par : *H(θ) le point d'intersection, lorsqu'il existe, de la droite d'angle polaireθet de la droiteD. *M(θ) le point d'intersection de la droite d'angle polaireθ etdu cercleCla convention que (avec lorsqu'il y a deux points d'intersection,M(θ) désigne le point d'intersection distinct deO).
1°)Etude de la strophoïde droite a) Donnerune équation cartésienne, puis une équation polaire du cercleC. b) Déterminerdes coordonnées polaires deM(θ) etH(θ), puis du milieuI(θ) du segment [M(θ),H(θ)]. En déduire, lorsqueθvarie, queI(θ) décrit la courbe d'équation polaire : cos(2θ) r(θ)=a. cos(θ) c) Exprimerr(θ+ 2), r(+θ),r(–θ) en fonction der(θ). Interpréter géométriquement ces résultats et indiquer sur quelle partieEde IR il suffit d'étudier la courbe pour obtenir la totalité de son support. d) Déterminerla limite der(θ)sin(θ/2) lorsqueθtend vers/2. Qu'en déduit-on géométriquement? e) Etudierle signe der(θ) pourθE, représenter sur une même figure la droiteD, le cercleC, et le support de cette courbeθI(θ). f) Calculerl'aire de la boucle délimitée par la courbeθI(θ). g) Donnerenfin une équation cartésienne du support de la courbeθI(θ).
PARTIE II On désigne parDla droite d'équationx= 2aet parCle cercle de centreM0(–a, 0), de rayona. Pour tout nombre réelt, on désignera par : *H(t) le point d'intersection de la droite d'équationy=txet de la droiteD. *M(t) le point d'intersection de la droite d'équationy=txet du cercleC(avec la convention que lors-qu'il y a deux points d'intersection,M(t) désigne le point d'intersection distinct deO).
2°)Etude de la cissoïde droite a) Donnerune équation cartésienne du cercleC. b) Déterminerles coordonnées deM(t) etH(t), puis du milieuJ(t) du segment [M(t),H(t)]. c) Déterminerle vecteur-dérivé à la courbetJ(t), puis en déduire les points stationnaires (c'est à dire non réguliers) de celle-ci et calculer le second vecteur dérivé au point de paramètret= 0. 2 3 En déduire que la tangente à la courbetJ(t) au pointJ(t0) a pour équationt0(t0+ 3)x– 2y=at0. d) Dresserle tableau des variations des coordonnéesx(t),y(t) du pointJ(t) pourtIR+, et représenter sur une même figure la droiteD, le cercleC, et le support de cette courbetJ(t). e) Donnerenfin une équation cartésienne du support de la courbetJ(t).
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3°)Alignement de points sur la cissoïde droite a) Montrerque trois points de coordonnées (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) sont alignés si et seulement si : x y1 1 1 x y1=0. 2 2 x y1 3 3 b) Factoriserle déterminant suivant oùt1,t2,t3désignent trois nombres réels donnés : 2 32 at at1+t 1 11 2 32 D(t,t,t)=at at1+t. 1 2 32 22 2 32 at at1+t 3 33 En déduire à quelle condition nécessaire et suffisante portant surt1,t2,t3 troispoints distincts de paramètrest1,t2,t3appartenant au support de la courbetJ(t) sont alignés. c) LadroitepassantparJ(t0)etJ(t0+ε)recoupelesupportdela courbetJ(t) en un point dont on note le paramètret(ε). Exprimert(ε) à l'aide det0 etεet préciser la limite det(ε) lorsqueε tendvers 0. En déduire que la tangente enJ(t0) à la courbetJ(t) recoupe le support de celle-ci enJ(–t0/2), et que les tangentes en trois points alignés recoupent le support de la courbe en trois points alignés.
PARTIE III On considère un pointM0(x0,y0) distinct deOet on désigne alors parDla droite d'équationx= 2a et parC(x0,y0) le cercle de centreM0(x0,y0) passant parO. Pour tout nombre réelt, on désignera par : *H(t) le point d'intersection de la droite d'équationy=txet de la droiteD. *M(t) le point d'intersection de la droite d'équationy=txet du cercleC(x0,y0) (avec la convention que lorsqu'il y a deux points d'intersection,M(t) désigne le point d'intersection distinct deO).
4°)Etude générale des cubiques circulaires a) Déterminerles coordonnées deM(t) etH(t), puis du milieuK(t) du segment [M(t),H(t)]. b) Etudierles branches infinies de la courbetK(t). c) Aquelle condition surM0(x0,y0) l'origineOappartient-elle au support de la courbetK(t) ? Représenter graphiquement la zone du plan correspondante. d) Aquelle condition surM0(x0,y0) la courbe a-t-elle un point double ? Quel est alors ce point double ? Représenter graphiquement la zone du plan correspondante. e) Aquelle condition surM0(x0,y0) la courbe a-t-elle un point stationnaire (c'est à dire non régulier) ? Quel est alors ce point stationnaire ? Représenter graphiquement la zone du plan correspondante.
5°)Alignement de points sur une cubique circulaire a) Montrerque trois points distincts de paramètrest1,t2,t3appartenantausupportdelacourbetK(t) sont alignés si et seulement s'il existe un triplet (u,v,w)(0, 0, 0) tels quet1,t2,t3vérifient : 3 2 avt+(au+y v+w)t+(y u+x v+av)t+(x u+au+w)=0 (1i3). i0i0 0i0 3 2 Vérifier queavX+(au+y0v+w)X+(y0u+x0v+av)X+(x0u+au+w)=av(Xt1)(Xt2)(Xt3), puis montrer que les trois égalités précédentes sont équivalentes à une relation entre les nombres σ1=t1+t2+t3,σ2=t1t2+t2t3+t3t1etσ3=t1t2t3qu'on demande d'expliciter. Retrouver ainsi le résultat obtenu dans le cas particulier de la cissoïde à la question II.3°. b) Endéduire que la tangente enK(t0) à la courbetK(t) recoupe le support de celle-ci en un point dont on précisera le paramètre en fonction det0.
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