EA 2003 composition de mathematiques classe prepa pc

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ANNEE 2003CONCOURS D’ADMISSIONAL’ECOLE DE L’AIRCONCOURS PC/PSICOMPOSITIONDEMATHEMATIQUESDurée : 4 heuresCoefficient : 13L’attention des candidats est attirée sur le faitque la notation tiendra compte du soin et de larigueur apportés dans le travail.Nota :Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui semblerune erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devrapoursuivre sa composition en expliquant les raisons desinitiatives qu’il a été amené à prendre.T.S.V.P.÷˛je˛‰¾j‰ıæóŁjj"j˛¾‰˛‰÷£Łı-óö£‡"¾˛‰‰˛‰fi£¾˛jj˛eö‡łeç"‰˛‡£æ‰ç‰ł˛Õ˛˛jfiLe sujet est constitué de deux problèmes indépendants que le candidat pourra traiter dansun ordre indifférent.PROBLÈME 11. On considère dans cette question la suite (u ) définie pour tout entier n 1 par :n n IN*n 2k 11.3….(2n – 1)u = =n 2.4…(2n) 2kk =1(a) On pose, pour tout entier naturel n 1, v = n u .n nMontrer que la suite (v ) est croissante.n n IN*vn+1(b) Étudier la nature de la série de terme général w = ln pour n IN*.nvn(c) Démontrer que la suite (v ) est convergente. On note L sa limite.n n IN*LComparer, pour tout entier n IN*, les réels u et .nn2. On considère dans cette question la fonction : x (x) = 1 – x pour x 0, 1 .[ ] (n)(a) Déterminer la dérivée d’ordre n de : x (x) pour x [0, 1[.(b) Soit x [0, 1[. La formule de Taylor avec reste intégrale appliquée à sur [0, x]s’exprime sous la forme (x) = P (x) + R (x) où P ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ANNEE 2003
CONCOURS D’ADMISSION
A
L’ECOLE DE L’AIR
CONCOURS PC/PSI
COMPOSITION
DE
MATHEMATIQUES
Durée : 4 heures
Coefficient : 13
L’attention des candidats est attirée sur le fait
que la notation tiendra compte du soin et de la
rigueur apportés dans le travail.
Nota :Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler
une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra
poursuivre sa composition en expliquant les raisons des
initiatives qu’il a été amené à prendre.
T.S.V.P.
2/5
Le sujet est constitué de deux problèmes indépendants que le candidat pourra traiter dans
un ordre indifférent.
PROBLÈME 1
1.
On considère dans cette question la suite (
u
n
)
n
IN*
définie pour tout entier
n
1 par :
u
n
=
1.3….(2
n
– 1)
2.4…(2
n
)
=
=
-
n
k
k
k
1
2
1
2
(a)
On pose, pour tout entier naturel
n
1,
v
n
=
n
u
n
.
Montrer que la suite (
v
n
)
n
IN*
est croissante.
(b)
Étudier la nature de la série de terme général
w
n
= ln
v
n
+1
v
n
pour
n
IN*.
(c)
Démontrer que la suite (
v
n
)
n
IN*
est convergente. On note
L
sa limite.
Comparer, pour tout entier
n
IN*, les réels
u
n
et
L
n
.
2.
On considère dans cette question la fonction
ϕ
:
x
ϕ
(
x
) = 1 –
x
pour
x
[
]
0, 1 .
(a)
Déterminer la dérivée d’ordre
n
de
ϕ
:
x
ϕ
(
n
)
(
x
) pour
x
[0, 1[.
(b)
Soit
x
[0, 1[. La formule de Taylor avec reste intégrale appliquée à
ϕ
sur [0,
x
]
s’exprime sous la forme
ϕ
(
x
) =
P
n
(
x
) +
R
n
(
x
) où
P
n
est une fonction polynomiale
de degré
n
et
R
n
(
x
) =
1
n
!
0
x
(
x
t
)
n
ϕ
(
n
+1)
dt
Exprimer les coefficients de
P
n
en fonction de
n
. Donner la valeur de
P
4
.
(b)
Démontrer la majoration
2200
x
[0, 1[,
R
n
(
x
)
1
2
u
n
0
x
(1 –
t
)
–1/2
dt
On pourra remarquer que
x – t
1 –
t
.
En déduire que
2200
x
[0, 1[,
R
n
(
x
)
u
n
(c)
Démontrer que la suite de fonctions polynomiales (
P
n
)
n
IN*
converge
uniformément sur [0, 1] vers la fonction
ϕ
.
Dans la question suivante, on note
Q
n
le polynôme tel que
Q
n
(
x
) =
P
n
(1 –
x
2
)
(d)
Soit
ε
un réel strictement positif et
M
une constante strictement positive.
Démontrer que si l’entier naturel
N
vérifie :
N
L
2
M
2
ε
2
, alors
2200
x
[–1, 1],
x
Q
N
(
x
)
ε
M
3/5
3.
On considère dans toute la suite du problème 1 une fonction
f
continue sur
[0, 1]
et
ε
un réel strictement positif.
On admet qu’ il existe un entier naturel
n
2 tel que
2200
(
x
,
y
)
[0, 1],
x
y
<
1
n
f
(
x
) –
f
(
x
)
<
ε
Dans la suite du problème 1,
n
désigne l’entier ainsi défini.
(a)
Soit
g
la fonction telle que
2200
k
IN, 0
k
n
,
g
k
n
=
f
k
n
et
g
est affine sur chacun des intervalles [
k
n
,
k
+ 1
n
], 0
k
n
– 1
Déterminer l’expression de
g
(
x
) lorsque
k
n
x
k
+ 1
n
.
(b)
Démontrer que
2200
x
[0, 1],
g
(
x
) –
f
(
x
)
<
ε
. On pourra remarquer que l’on peut
écrire
g
(
x
) sous la forme
g
(
x
) =
α
f
k
n
+ (1 –
α
)
f
k
+ 1
n
3.
Dans cette question, on considère pour
n
IN*, les matrices
A
n
+1
M
n
+1
(IR) :
A
n
+1
=
0 1
2 … …
n
1 0
1
2 1
0
1 2
1
0 1
n
… …
2
1 0
de terme général
(
)
a
i, j
=
i
j
1
i, j
n+
1
et
B
n
+1
M
n
+1
(IR) de terme général :
b
i, i
= –1 si
i
1 et
i
n
+1
b
1, 1
=
b
n
+1,
n
+1
=
1 –
n
2
n
si
i
j
=1 alors
b
i, j
=
1
2
b
1,
n
+1
=
b
n
+1, 1
=
1
2
n
b
i, j
= 0 dans tous les autres cas
On admettra que
A
n
+1
est inversible et que
A
n
1
1
-
+
=
B
n
+1
: ce résultat est démontré en partie
à la question 6.
(a)
Soit
E
n
+1
l’espace vectoriel des fonctions
g
définies sur [0, 1] à valeurs dans IR
telles que
g
soit affine sur chacun des intervalles [
k
n
,
k
+1
n
], 0
k
n
– 1.
Soit d’autre part
Φ
l’application de
E
n
+1
dans IR
n
+1
telle que
2200
g
E
n
+1
,
Φ
(
g
) =
g
k
n
0
k
n
Démontrer que
Φ
est un isomorphisme de
E
dans IR
n
+1
et expliciter l’ unique
fonction
g
α
E
n
+1
telle que
Φ
(
g
) = (
a
0
,
a
1
, … ,
a
n
) où
α
= (
a
0
,
a
1
, … ,
a
n
)
IR
n
+1
.
4/5
(b)
Pour tout entier
j
, 0
j
n
, on note
f
i
E
n
+1
l’application
t
f
j
(
t
) =
t –
j
n
Montrer que la famille (
f
j
)
0
j
n
est une base de
E
n
+1
: on pourra par exemple
expliciter la matrice de la famille des vecteurs (
Φ
(
f
j
))
0
j
n
, dans la base
canonique de IR
n+
1
.
(c)
Soit
α
= (
a
0
,
a
1
,… ,
a
n
)
IR
n
+1
et
g
α
E
n
+1
la fonction définie à la question 4°a),
telle que
2200
k
{0, 1, … ,
n
},
g
α
k
n
=
a
k
.
Démontrer qu’ il existe
n
+1 réels
λ
0
,
λ
1
, … ,
λ
n
tels que
2200
x
[0, 1],
g
α
(
x
) =
k
= 0
n
λ
k
f
k
(
x
)
Déterminer la valeur des coefficients
λ
k
, 0
k
n
en fonction de (
a
0
,
a
1
, … ,
a
n
).
4.
La lettre
g
désigne dans cette question la fonction étudiée à la question 3°a) et
Q
N
le
polynôme obtenu à la question 2°e) pour la valeur
ε
0 et la valeur
M
=
k = 0
n
λ
k
.
(a)
Déterminer
α
IR
n
+1
tel que
g
=
g
α
.
En déduire à l’aide de
f
la valeur des coefficients
λ
k
, 1
k
n
– 1, obtenus à la
question 4°c).
(b)
On pose
2200
x
[0, 1],
R
(
x
) =
k =
0
n
λ
k
Q
N
x
k
n
Démontrer que
[
]
sup
1
0,
x
f
(
x
) –
R
(
x
)
2
ε
(c)
Quel théorème vient-on ainsi de démontrer ?
5.
On revient sur la matrice
A
n
+1
étudiée à la question 4.
Calculer det(
A
n
+1
) en fonction de
n
: on effectuera les opérations suivantes :
pour
i
allant de
n
+1 à 2 remplacer la ligne
L
i
par la ligne
L
i
L
i–1
pour
j
allant de 2 à
n
+1 remplacer la colonne
C
j
par la colonne
C
j
+
C
1
.
En déduire que
A
n
+1
est inversible.
5/5
PROBLÈME 2
Dans ce problème on se propose d’étudier la fonction
f
qui au réel
x
0 associe
f
(
x
) =
[0, 2
π
[
sin
t
4
x
2
t
2
dt
1.
Soit
x
0 fixé. Démontrer que la fonction
t
h
(
t
) =
sin
t
4
x
2
t
2
est intégrable sue [0, 2
π
[.
2.
Montrer que
2200
x
0,
f
(
x
) =
0
π
/2
sin(2
x
.sin(
v
))
dv
.
3.
Montrer que la fonction
f
admet un prolongement continu sur [0, +
[, que l’on notera
toujours
f
, et que cette fonction est de classe
C
sur [0, +
[.
Préciser
f
(
n
)
(
x
) en fonction de
n
et de
x
sous forme d’une intégrale que l’on ne calculera
pas.
4.
On admet que
f
(2
n
)
(0) = 0 et
f
(2
n
+1)
(0) = (–1)
n
2
4
n
+1
(n !)
2
(2
n
+1) !
(a)
Déterminer la série de Taylor de
f
au point
x
= 0 sous la forme
n
=0
+
a
2
n
+1
x
2
n
+1
et
calculer son rayon de convergence.
(b)
Démontrer que pour
x
fixé, la série
k
= 0
+
a
2
k
+1
x
2
k
+1
est alternée, et que la suite
a
2
k
+1
x
2
k
+1
est décroissante dès que
k
x
3
2
.
(c)
Les réels
x
0,
ε
0 étant fixés, écrire dans le langage informatique de votre
choix, une suite d’ instructions qui fournit une valeur approchée à
ε
près de
f
(
x
) à
l’ aide de la suite
s
n
(
x
) =
k
=0
n
a
2
k+
1
x
2
k
+1
.
On commencera par déterminer la valeur de
n
en fonction
ε
.
5.
Montrer que pour tout entier naturel
p
et tout entier naturel
k
tel que 0
k
p
– 1, on a :
[2
k
π
,
2
k
π
+2
π
]
sin
t
4
p
2
π
2
t
2
dt
<
0
En déduire le signe de
f
(
p
π
).
6.
Déterminer pour tout entier naturel
p
le signe de
f
(
p
π
+
π
2
) et en déduire que
f
s’annule
une infinité de fois sur [0, +
[.
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