EA 2003 premiere epreuve classe prepa mp

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ANNEE 2003CONCOURS D’ADMISSIONAL’ECOLE DE L’AIRCONCOURS MPPREMIERE EPREUVEDEMATHEMATIQUESDurée : 4 heuresCoefficient : 13L’attention des candidats est attirée sur le faitque la notation tiendra compte du soin et de larigueur apportés dans le travail.Nota : Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui semblerune erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devrapoursuivre sa composition en expliquant les raisons desinitiatives qu’il a été amené à prendre.T.S.V.P.÷ççq"qçqp˛÷˛åp-"÷åæqpq÷qå˛"åöåpqpåöaæqłaç˛òqç"ł˛÷q‰¥˛åpqŁqçfłqæqppòpŁ-çòłp÷pŁföq÷‰Ł‰på-qçpqpç-öò÷pqf÷˛qq‰"pfq˛˛q"qæLe but de ce problème est d’établir certains résultats classiques relatifs aux fonctions périodiqueset aux séries de Fourier puis d’étudier les coefficients de Fourier de certaines fonctions qui ne sont pas de1classe C par morceaux.On rappelle les notations usuelles utilisées pour l’expression des coefficients de Fourier d’unefonction f continue et 2 périodique :1 - ikxc (f) = dx,f(x)ek21 1a (f) = f(x) cos(kx) dx , b (f) = f(x) sin(kx) dxk k1-Préliminaire1sin((n+ ) )n 2ik1. Montrer que, n IN, IR\2 Z, e = .k=–n sin( )2p n n ik ik2. Pour n IN*, développer e sous la forme e où k,n p = 0 k = –p k = –n les sont des réels à déterminer. k,n1(sin(p + ) )n 23. En considérant , montrer que :p = 0 sin( )22n + 1n sin . 2k 1ikn IN ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ANNEE 2003
CONCOURS D’ADMISSION
A
L’ECOLE DE L’AIR
CONCOURS MP
PREMIERE EPREUVE
DE
MATHEMATIQUES
Durée : 4 heures
Coefficient : 13
L’attention des candidats est attirée sur le fait
que la notation tiendra compte du soin et de la
rigueur apportés dans le travail.
Nota : Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler
une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra
poursuivre sa composition en expliquant
les raisons des
initiatives qu’il a été amené à prendre.
T.S.V.P.
2/4
Le but de ce problème est d’établir certains résultats classiques relatifs aux fonctions périodiques
et aux séries de Fourier puis d’étudier les coefficients de Fourier de certaines fonctions qui ne sont pas de
classe
1
C
par morceaux.
On rappelle les notations usuelles utilisées pour l’expression des coefficients de Fourier d’une
fonction
f
continue et 2
π
périodique :
c
k
(
f
) =
1
2
π
-
π
π
ikx
-
f(x)e
dx
,
a
k
(
f
) =
1
π
-
π
π
dx
(kx)
f(x)
cos
,
b
k
(
f
) =
1
π
-
π
π
dx
(kx)
f(x)
sin
1-Préliminaire
1.
Montrer que,
2200
n
IN,
2200
θ
IR\2
π
ZZ
,
k
=
–n
n
e
ik
θ
=
sin((
n
+
1
2
)
θ
)
sin(
θ
2
)
.
2.
Pour
n
IN*, développer
p
= 0
n
k
= –
p
p
e
ik
θ
sous la forme
k
= –
n
n
α
k,n
e
ik
θ
les
α
k,n
sont des réels à déterminer.
3.
En considérant
p
= 0
n
(sin(
p
+
1
2
)
θ
)
sin(
θ
2
)
, montrer que :
2200
n
IN,
2200
θ
IR\2
π
ZZ
,
k=-n
n
(1 –
k
n
+1
)e
ik
θ
=
1
n
+1
2
2
sin
.
2
1
sin
+
θ
θ
n
.
On désigne alors, pour
n
IN, par
φ
n
la fonction définie par
2200
θ
IR,
φ
n
(
θ
) =
k
= –
n
n
(1 –
k
n
+1
)e
ik
θ
4.
Montrer que
φ
n
est continue sur IR, 2
π
périodique, paire, positive ou nulle et déterminer
1
2
π
-
π
π
θ
θ
φ
d
)
(
n
.
5.
Soit
r
un réel élément de l’ intervalle ]0, 1[. Montrer que, pour tout réel
θ
, on a
1 –
r
2
1 +
r
2
– 2
r
.cos(
θ
)
= 1 + 2
k = 1
+
r
k
cos(
k
θ
)
On désigne alors, pour
r
]0, 1[, par
P
r
la fonction définie par
2200
θ
IR,
P
r
(
θ
) =
1 –
r
2
1 +
r
2
– 2
r
.cos(
θ
)
3/4
6.
Montrer que
P
r
est continue sur IR, 2
π
périodique, paire, strictement positive
et déterminer
1
2
π
-
π
π
θ
θ
d
)
(
P
r
.
2-Approximations de fonctions périodiques.
Soit
f
une fonction d’une variable réelle et à image réelle, continue sur IR et 2
π
périodique.
Pour
n
IN
*
,
r
]0, 1[ et
t
IR, on pose :
Q
n
(
f
) (
t
) =
1
2
π
-
-
π
π
θ
θ
θ
φ
)d
)f(t
(
n
et
T
r
(
f
) (
t
) =
1
2
π
-
-
π
π
θ
θ
θ
)d
)f(t
(
P
r
.
7.
Montrer que
f
est uniformément continue sur IR.
8.
Montrer que
Q
n
(
f
) est un polynôme trigonométrique dont on calculera ses coefficients de
Fourier (
c
k
(
Q
n
))
k
en fonction des
c
k
(
f
)
.
9.
Soit
δ
vérifiant 0
<
δ
<
1.
Montrer que pour tout réel
t
on a :
1
2
π
-
-
δ
π
θ
θ
θ
φ
d
f(t)
-
)
-
f(t
)
(
n
+
1
2
π
π
δ
θ
θ
θ
φ
d
f(t)
-
)
-
f(t
)
(
n
2
IR
x
sup
f
(
x
)
1
(
n
+1)(sin(
δ
2
))
2
10.
Montrer alors que la suite de fonctions (
Q
n
(
f
))
n
IN
*
converge uniformément sur IR vers la
fonction
f
.
11.
Montrer que
1
2
π
-
-
π
π
dt
(f)(t)
Q
f(t)
n
2
=
1
2
k
=1
n
k
2
(
n
+1)
2
(
a
k
(
f
)
2
+
b
k
(
f
)
2
) +
1
2
k
=
n
+1
+
(
a
k
(
f
)
2
+
b
k
(
f
)
2
)
(Cette intégrale mesure l’ erreur quadratique commise dans l’ approximation).
12.
Montrer que
2200
r
]0, 1[,
2200
t
IR,
T
r
(
f
)(
t
) =
k
= –
+
ikt
k
k
f
c
r
)e
(
.
13.
Montrer que la fonction
T
r
(
f
) est continue sur IR et calculer ses coefficients de Fourier.
14.
Montrer que
2200
ε
0,
5
r
0
]0, 1[,
2200
r
]
r
0
, 1[,
IR
sup
t
T
r
(
f
)(
t
) –
f
(
t
)
ε
.
15.
Montrer que
1
2
π
-
-
π
π
dt
(f)(t)
T
f(t)
r
2
=
k
=
+
((1 –
k
r
)
2
c
k
(
f
)
2
)
(Cette intégrale mesure l’ erreur quadratique commise dans l’ approximation).
ZZ
4/4
3-Un cas particulier du théorème d’échantillonnage de Shannon.
On désigne par
E
le IR-espace vectoriel des fonctions paires nulles en dehors du segment [–
π
,
π
] et
dont la restriction à ce segment est de classe
C
1
.
Pour
f
E
on définit la transformée de Fourier de
f
,
notée
f
ˆ
, par
2200
x
IR,
f
ˆ
(
x
) =
IR
f
(
t
)e
–ixt
dt
.
16.
Montrer que
f
ˆ
est une fonction paire, de classe
C
sur IR.
17.
Montrer que
2200
x
[–
π
,
π
],
f
(
x
) =
1
2
π
(
f
ˆ
(0) +2
)
)cos(
(
nx
n
f
n
+∞
=
1
ˆ
) )
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