EA 2004 composition de mathematiques classe prepa psi

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7Lestroispartiesdeceproblèmesonttrèslargement indépendantes et peuvent se traiter dans unordre indifférent.Partie A3 3R est rapporté à sa base canonique B=(e ,e,e). On considère l’endomorphisme u de R1 2 3défini par sa matrice A relativement à la base B, où la matrice A est donnée par: 8 −1 −5 A = −2314 −1 −1◦A1 ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Les trois parties de ce problème sont très largement indépendantes et peuvent se traiter dans un ordre indifférent.
Partie A
3 3 Rest rapporté à sa base canoniqueB= (e1, e2, e3)considère l’endomorphisme. OnudeR défini par sa matriceArelativement à la baseB,où la matriceAest donnée par:   815   A=2 31 411 A 1Démontrer que les réels2et4sont deux valeurs propres deuet déterminer une base des deux sous espaces propres correspondants .
03 A 2Démontrer qu’il existe une baseBdeRtelle que l’endomorphismeuadmette relativement   4 3 0   0 0 à la baseBla matriceA4 0= 0. Onchoisira les coordonnées des vecteurs de cette 0 0 2 nouvelle base parmi1,0,1
n A 3SoitnN.DéterminerAen fonction den. 1 A 4x, y, zdésignant trois fonctions réelles de classeC, déterminer l’ensemble des solutions de l’équation différentielle suivante: 0 x(t) = 8x(t)y(t)5z(t) 0 tR, y(t) =2x(t) + 3y(t) +z(t) 0 z(t) = 4x(t)y(t)z(t)
Partie B
2 B 1Déterminer les fonctions de classeCsurRà valeurs dansRtelles que 00 0 tR, f(t) +f(t) +f(t) = 0(1) (les solutions ne doivent donc pas s’exprimer à l’aide de nombres complexes ) B 2Montrer que l’ensembleFdes solutions de(1)forme unRespace vectoriel dont on précisera une base(ϕ,ϕ). 1 2 Donner l’allure du graphe d’une solution non nulle de(1)
0 B 3Montrer que l’applicationD:f7fest un endomorphisme deF. 3 Cet endomorphismeDest il diagonalisable? DéterminerD . B 4SoitaRnote. OnTal’application définie par : fF,xR, Ta(f)(x) =f(x+a) Montrer queTaest un endomorphisme deF. Pourquelles valeurs du réelal’endomorphismeTa est il diagonalisable? Quelle propriété du graphe deftracé auB2peut on en déduire?
B 5Déterminer l’ensemble des couples(λ, a)R×Rtels queD=λTa
. Partie C
2 2 Dans cette partie on noteE=C(R+,R)l’espace vectoriel des fonctions de classeCsurR+à 2 valeurs dansR.On considère le sous ensembleFdeEformé des fonctions réelles de classeC 2 surR+telles que la fonctiont7f(t)soit intégrable sur[0,+[notera. On s Z 2 N2(f) =f(t)dt [0,+[
C 1Soientfetgdeux éléments deF. Démontrer que la fonctiont7f(t)g(t)est intégrable sur[0,+[ C 2Démontrer queFest unRespace vectoriel. C 3Soituune fonction réelle, continue surR+,admettant une limitel, finie ou non, lorsque xtend vers+.On suppose que la primitive nulle en0deu,notéeU,admet une limite finie L= limU(x)lorsquextend vers+.Démontrer quel= 0. x+00 Dans ce qui suitfest une fonction deEtelle quefetfappartiennent àF. C 4Justifier que pour tousx, a, bappartenant à[0,+[: Z Z x x 2 0 00 00 [f(t)]dt=f(x)f(x)f(0)f(0)f(t)f(t)dt(2) 0 0 Z b 1 02 2 f(t)f(t)dt= ([f(b)][f(a)] )(3) 2 a 0 Montrer alors, en utilisant les deux égalités(2)et(3), que la fonctionfappartient àF.On pourra faire un raisonnement par l’absurde. C 5En déduire alors que les deux fonctions suivantes admettent une limite finie lorsquex+: Z Z x x 0 000 x7f(t)f(t)dtetx7f(t)f(t)dt 0 0 0202 En déduire également que :limf(x)f(xlim) =f(x) =lim (f(x)) =0 x+x+x+C 6Montrer que pour toutt[0,+[: ³ ´³ ´ 0 2 2 0 00202 2 00 0 [f(t) +f(t) +f(t)][f(t[)] +f(t)][f(t)] =[f+f] (t) En déduire que Z ZZ Z 2 22 2 200 00 000 [f(t)]dt+ [f(t)]dt[f(t)]dt= [f(0) +f(0)] +[f(t) +f(t) +f(t)]dt [0,+[ [0,+[ [0,+[ [0,+[ puis que 02 2002 N2(f)N2(f) +N2(f)(4)
C 7En considérant, pour tout réelλstrictement positif, les fonctionsfλdéfinies par: fλ(x) =λf(λx),déduire de(4)que 1 022 2002 N2(f)N2(f) +λN2(f) 2 λ C 8Déduire de(5)que p 0 00 N2(f)2N2(f)N2(f)
C 9Soitfune fonction solution de l’équation différentielle(1)de la partieB,et telle que: 0 f(0) +f(0) = 0. 00 Montrer quefetfappartiennent àF.En déduire que l’inégalité(6)ne peut être améliorée.
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