Ecricome 1999 mathematiques classe prepa b/l

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ECRICOMEBanque d Øpreuves communesaux concours des Ecolesesc bordeaux / esc marseille / icn nancy / esc reims / esc rouen / esc toulouseCONCOURS D’ADMISSIONoption lettre et sciences humainesMATHÉMATIQUESAnnØe 1999Aucun instrument de calcul n est autorisØ. document n est autorisØ.L ØnoncØ comporte 4 pagesLes candidats sont invitØs à soigner la prØsentation de leur copie, à mettre en Øvidence les principauxrØsultats, à respecter les notations de l’ØnoncØ, et à donner des dØmonstrations complŁtes (mais brŁves)de leurs a¢ rmations.Tournez la pageS.V.P1/4PREMIER PROBLEME21. Soit f une fonction de classe C sur [a;b]; telle que f(a) =f(b) = 0;x Øtant un ØlØment de ]a;b[, montrer qu il existe x de ]a;b[ tel que :0 1f"(x )1f(x ) = (x a)(x b):0 0 02On pourra appliquer plusieurs fois le thØorŁme de Rolle à la fonction auxiliaire :f(x )0’ :x7!f(x) (x a)(x b)(x a)(x b)0 0aprŁs avoir calculer ’(a); ’(x ) et ’(b):022. Soit g une fonction de classe C sur [a;b] telle que, pour tout x de [a;b]; m6g"(x)6M:(a) Soit h apl plication dØ…nie par :x b x ah(x) =g(x) g(a) g(b) ;a b b aen appliquant le rØsultat prØcØdent à la fonction h, montrer que, pour tout x de [a;b];(x a)(x b) x b x a (x a)(x b)M 6g(x) g(a) g(b) 6m :2 a b b a 2 bR x b x a b a(b) Montrer que g(a) +g(b) dx = [g(a)+g(b)]:a b b a 2a(c) En dØduire que :bZ3 3(b a) b a (b a)M 6 g(x)dx (g(a)+g(b))6 m :12 2 12a3.n+1R(a) Calculer ln(x)dx pour n entier strictement positif.n(b) ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ECRI COME Banque dépreuves communes aux concours des Ecoles es bordeaux/ esc marseille/ icnancy /esc reims/ esrouen /esc toulouse
CONCOURS DADMISSION
option lettre et sciences humaines
MATHÉMATIQUES
Aucun instrument de calcul nest autorisé. Aucun document nest autorisé.
Lénoncé comporte 4 pages
Année 1999
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de lénoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves) de leurs a¢ rmations.
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PREMIER PROBLEME 2 1. Soitfune fonction de classeCsur[a; b];telle quef(a) =f(b) = 0; x0étant un élément de]a; b[, montrer quil existex1de]a; b[tel que : f"(x1) f(x) =(xa)(xb): 0 00 2 On pourra appliquer plusieurs fois le théorème de Rolle à la fonction auxiliaire : f(x) 0 ':x7!f(x)(xa)(xb) (x0a)(x0b) après avoir calculer'(a); '(x0)et'(b): 2 2. Soitgune fonction de classeCsur[a; b]telle que, pour toutxde[a; b]; m6g"(x)6M: (a) Soithlapplication dénie par : xb xa h(x) =g(x)g(a) g(b); ab ba en appliquant le résultat précédent à la fonctionh, montrer que, pour toutxde[a; b]; (xa)(xb)xb xa(xa)(xb) M6g(x)g(a) g(b)6m : 2ab ba2   b R xb xa ba (b) Montrerqueg(a)+g(b)dx= [g(a) +g(b)]: ab ba2 a (c) Endéduire que : b Z 3 3 (ba)ba(ba) M6g(x)dx(g(a) +g(b))6m : 12 212 a 3. n+1 R (a) Calculerln(x)dxpournentier strictement positif. n (b) Utiliserla double inégalité démontrée au 2c pour montrer que :   1 11 6n+ [ln(n+ 1)lnn]16: 2 2 12(n2 12+ 1)n 4. Onconsidère les deux suites réelles(Un)net(Vn)ndénies pour toutn>2par : 1 n+1=2n Un= ln(n e)ln(n!)etVn=Un+: 12(n1) Montrer, en utilisant le résultat établi à question 3, que les deux suites(Un)net(Vn)nsont adjacentes et quelles convergent vers un réelCqui vérie : 1 C< Un< C: 12(n1)
=2 R n 5. Ondénit la suite(In)npar la formuleIn= sinxdx: 0
(a) CalculerI0etI1:
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(b) Vérierque(In)nest une suite décroissante. (c) Trouverune relation de récurrence entreIetI;en déduire les valeurs deIpuis deI : n+2n2n2n+1
6. Démontrer,en utilisant la double inégalitéI2n1> I2n> I2n+1;que : 4n4 2 (n!) lim =: 2 n!+1 [(2n)!]n 1 En déduire queC=ln(2): 2 Remarque importante: bienque les di¤érentes questions soient dépendantes, on pourra utiliser un résultat énoncé, mais non démontré, pour la suite du problème.
SECOND PROBLEME
Une société denvergure nationale qui commercialise "clés en mains" des ordinateurs propose des contrats de maintenance par lesquels elle sengage à dépanner les entreprises qui le demandent dans lheure qui suit lappel téléphonique; mais il sest avéré que dans12% des cas, elle ne pouvait tenir ce délai, et quelle dépannait ses clients avec retard.On admettra que les appels et leur éventuel retard se produisent indépendamment les uns des autres.
Partie I Une entreprise a appelé le service de dépannage à10dates di¤érentes; on désigne parXle nombre de fois où lentreprise a subi un retard. 1. Donnerla loi de probabilité suivie parX;préciser son espérance et son écart-type. 4 2. Calculerà10près la probabilité des évènements suivants : (a) lentreprisea subi au moins2retards. (b) lentreprisea subi au moins3retards sachant quelle en a subi au moins1:
Partie II Lantenne parisienne de la société note les appels successifs quelle reçoit avec leurs caractéristiques :nom du ieme client, durée de lintervention, retard éventuel, ...On désignera parYkle rang dukappel du est traité avec retard; on dénit ainsi une suite de variables aléatoires. 1. Onsintéresse en premier lieu à la loi suivie parY1: (a) Donnerla probabilité de lévènementY1=n; (b) Calculerlespérance et la variance de la variable aléatoireY1: 2. Traiterles mêmes questions pour la variable aléatoireY2:
Partie III La société pense quelle aura lan prochain1500appels pour lensemble de la France; on désigne parZle nombre dappels qui seront traités avec retard. 1. Justierle fait que lon peut approcher la loi deZpar une loi normale dont on précisera les paramètres. 2. Calculeralors les probabilités des évènements suivants : 180< Z <200; Z <200sachant queZ >180: 3. Déterminerle nombremtel que la probabilité queZfasse partie de lintervalle[180m;180 +m]soit0;95:
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Partie IV Après avoir réorganisé ses équipes de dépannage, la société veut contrôler une éventuelle amélioration en interro-geant par sondage un nombreN0de ses clients.
1. Ensupposant que la fréquence des mécontents est inférieure à10%, déterminer le nombre minimalN0de clients à interroger pour avoir une incertitude maximale de3% sur la fréquence (risque5%).
2. Lasociété en a interrogé en réalité205; 18se sont déclarés mécontents; donner lintervalle de conance au risque5% pour la fréquence cherchée.
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