Ecricome 1999 mathematiques classe prepa hec (eco)

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ECRICOMEBanque d Øpreuves communesaux concours des Ecolesesc bordeaux / esc marseille / icn nancy / esc reims / esc rouen / esc toulouseCONCOURS D?ADMISSIONoption ØconomiqueMATH?MATIQUESAnnØe 1999Aucun instrument de calcul n est autorisØ. document n est autorisØ.L ØnoncØ comporte 5 pagesLes candidats sont invitØs ? soigner la prØsentation de leur copie, ? mettre en Øvidence les principauxrØsultats, ? respecter les notations de l?ØnoncØ, et ? donner des dØmonstrations complŁtes (mais brŁves)de leurs a¢ rmations.1/5Exercice 1PrØliminaireSoit (x ) une suite numØrique qui vØri?e, pour tout entier naturel n, la relation :n1 1x = x + xn+2 n+1 n3 3Montrer que : lim x = 0nn!+1p p1+ 13 1 132 2(on donne: = 0;77 ? 10 prŁs par excŁs et = 0;44 ? 10 prŁs par dØfaut).6 6a et b sont deux rØels supØrieurs ou Øgaux ? 1.On Øtudie la suite numØrique (u ) dØ?nie par : u =a u =b et pour tout entier naturel n:n 0 1p pu = u + un+2 n n+1Question 11.a : Montrer que, pour tout entier naturel n, u est bien dØ?ni et vØri?e : u > 1.n n1.b : Montrer que la seule limite possible de la suite (u ) est 4.n1.c : Ecrire un programme en Turbo Pascal qui calcule et a¢ che la valeur de u pour des valeurs de a et b rØellesnsupØrieures ou Øgales ? 1 et de n entier supØrieur ou Øgal ? 2, entrØes par l?utilisateur.Question 2On se propose d Øtablir la convergence de la suite (u ) par l Øtude d une suite auxiliaire (v ) dØ?nie, pour toutn nentier naturel n par:1pv = u 1n n22.a ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ECRI COME Banque dépreuves communes aux concours des Ecoles es bordeaux/ esc marseille/ icnancy /esc reims/ esrouen /esc toulouse
CONCOURS DADMISSION
option économique
MATHÉMATIQUES
Aucun instrument de calcul nest autorisé. Aucun document nest autorisé.
Lénoncé comporte 5 pages
Année 1999
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de lénoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves) de leurs a¢ rmations.
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Exercice 1 Préliminaire Soit(xn)une suite numérique qui vérie, pour tout entier natureln, la relation : 1 1 xn+2=xn+1+xn 3 3 Montrer que :limxn= 0 n!+1 p p 1 +13 113 22 (on donne:= 0;77à10près par excès et=0;44à10près par défaut). 6 6 aetbsont deux réels supérieurs ou égaux à 1. On étudie la suite numérique(un)dénie par :u0=a u1=bet pour tout entier naturel n: p p u=u+u n+2n n+1
Question 1 1.a :Montrer que, pour tout entier natureln,unest bien déni et vérie :un>1. 1.b :Montrer que la seule limite possible de la suite(un)est4. 1.c :Ecrire un programme en Turbo Pascal qui calcule et a¢ che la valeur deunpour des valeurs deaetbréelles supérieures ou égales à1et denentier supérieur ou égal à2, entrées par lutilisateur.
Question 2 On se propose détablir la convergence de la suite(un)par létude dune suite auxiliaire(vn)dénie, pour tout entier naturelnpar: 1p vn=un1 2 2.a :Montrer que silimvn= 0alorslimun= 4 n!+1n!+1 v+v n+1n 2.b :Vérier, pour tout entiern:vn+2=. 2(2 +vn+2) 1 En déduire que :jvn+2j6(jvnj+jvn+1j). 3 2.c :On note(xn)la suite dénie par :x0=jv0j,x1=jv1jet pour tout entier natureln: 1 1 x=x+x n+2n+1n 3 3 Montrer que, pour tout entier natureln,jvnj6xnet conclure quant à la convergence de la suite(un).
Exercice 2 Toutes les matrices de cet exercice sont des éléments de lensembleEdes matrices carrées dordre 2 à coe¢ cients réels.    0 01 0 On pose :O=,I=etH=fM2E=92Rtel queM=Ig 0 00 1   a b et pour toute matrice réelleM=,(M) =a+det(M) =adbc. c d
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Question 1   anbn On dit que la suite de matrices(An)n2NAn=converge vers la matriceOsi(an),(bn),(cn)et cndn (d)sont des suites réelles de limite nulle. n Justier les résultats suivants:
1 a)Soit(An)n2Net(Bn)n2Ndeux suites de matrices,un réel etMune matrice: si(A)et(B)convergent vers la matriceO, alors ((A+B),( A),(M A)et n n2Nn n2Nnn n2Nn n2Nn n2N (AnM)n2Nconvergent aussi versO.   0 n 1 b)SiD=avecjj<1etjj<1, la suite de matrices(D)n2Nconverge versO. 0
1 c)Si une matriceAest diagonalisable, de valeurs propresettels quejj<1etjj<1, alors la suite n (D)n2Nconverge versO.
Question 2 Dans toute cette question,Adésigne un élément deEtel que(A)<0. On se propose de montrer quune telle matrice est diagonalisable.
2 a)Montrer queAnest pas élément deH.
2 b)Vérier par le calcul que, pour tout élémentMdeEon a: 2 M=(M)M(M)I()
2 c)Montrer quil existe deux réels distinctsettels que: +=(A)et=(A)
2 d)On poseM=AIetN=AI Montrer queM N=Oet en déduire que lhypothèse Mest inversible" conduit à une contradiction. Montrer de même queNnest pas inversible.
2 e)En déduire queAest diagonalisable et quil existe une matricePdeEinversible telle que   0 1 A=P DPavecD=. 0
Question 3   1 2 2 On noteUlouvert deRdéni parU=;]0;1[etflapplication dénie surUpar : 3 3 2 2 (x; y)!f(x; y) =xx+xyxy
3 a)Montrer quefest strictement négative surU.
3 b)Montrer (en rédigeant soigneusement) quefadmet un unique extremum surUet que celui-ci est un minimum dont on donnera la valeur. 25 En déduire que, pour tout élément(x; y)deU:6f(x; y)<0. 65
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Question 4 Soientaetbdeux réels tels que(a; b)soit un élément de louvertUdéni précédemment.   a b On poseQ= a(1b)a1 n On se propose de montrer que la suite de matrices(Q)n2Nconverge versO. 4 a)Calculer(Q)et(Q) Vérier que les résultats de la question 2 sappliquent pourA=Qet en déduire queQadmet deux valeurs propres distinctesettelles que: 1 125 < + <et660 3 364 2 22 2 4 b)Exprimer+en fonction de+etet en déduire que+ <1. n Pourquoi peut on a¢ rmer que la suite(Q)n2Nconverge versO?
Exercice 3 On modélise la durée de fonctionnement dun appareil par une variable aléatoire réelleTdénie sur un certain espace probabilisé(;A; P)admettant une densitéf. On noteFsa fonction de répartition et on suppose queFvérie les propriétés: F(t) = 0pour tout réelt60.
1 + Fest de classeCet strictement croissante surR.
Sous une hypothèse introduite dans la question 2, on se propose dexpliciterFetf, puis de calculer lespérance E(T)deT, temps moyen de fonctionnement".
Question 1 +1 R21p u On rappelle que lintégrale généraliséee duconverge et vaut. 2 0 + Soitun réel strictement positif; sixest un élément deR, on pose: x x Z Z 2 2 2u2(t=) I(x2) =u eduetJ(x) =t edt 0 0 + 1 a)A laide dun changement de variable, exprimer, pour tout élémentxdeR,   x J(x)en fonction deI. + 1 b)A laide dune intégration par parties, montrer que, pour tout élémentxdeR: x Z 2 2 ux I(x) =e duxe 0 p +13 R 2  2(t=) 1 c)En déduire que lintégrale généraliséedtt e.converge et vaut 4 0
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Question 2 + 2 a)Montrer que, pour tout élémentudeR,F(u)<1, puis en déduire queP(T>u)6= 0.
2 b)Soientt0ettdes réels tels que06t06t. 1 On pose :q(t0; t) =P(t06T6t = T>t0)(cest une probabilité conditionnelle). tt0 q(t ;t)estle taux darrêt de fonctionnement entre les instantstett. 0 0 On dénit ensuite, sous réserve dexistence, letaux darrêt de fonctionnement instantané ent0par:
(t0) =limq(t0; t) + t!t 0
Exprimerq(t0; t)en fonction det,t0,F(t0)etF(t). 0 F(t0) En déduire que(t0)existe et que(t0) = 1F(t) 0 Dans la suite de lénoncé, on fait lhypothèse suivante: + il existe un réelc >0tel que, pour tout élémenttdeR,(t) =ct.
+ 2 c)Montrer que, pour tout élémenttdeR, on a :
2 t ln [1F(t)] =c 2
+ 2 d)Soittun élément deR. r 2 22 (t=) ExpliciterF(t), puis montrer, en posant=, quef(t) =te. 2 c  2 e)Montrer queE(T)existe et donner sa valeur en fonction dec.
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