Ecricome 2000 mathematiques classe prepa hec (eco)

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ECRICOMEBanque d Øpreuves communesaux concours des Ecolesesc bordeaux / esc marseille / icn nancy / esc reims / esc rouen / esc toulouseCONCOURS D’ADMISSIONoption ØconomiqueMATHÉMATIQUESAnnØe 2000Aucun instrument de calcul n est autorisØ. document n est autorisØ.L ØnoncØ comporte 4 pagesLes candidats sont invitØs à soigner la prØsentation de leur copie, à mettre en Øvidence les principauxrØsultats, à respecter les notations de l’ØnoncØ, et à donner des dØmonstrations complŁtes (mais brŁves)de leurs a¢ rmations.1/4Exercice 1Soit X une variable alØatoire à densitØ dØ…nie sur un espace probabilisØ. On note f une densitØ de X, F safonction de rØpartition. On fait les trois hypothŁses suivantes:i) Si t appartient à ] 1 ;0[, f(t) = 0.ii) Si t appartient à [0;+1[, f(t) est positif ou nul.iii) f est continue sur ]0;+1[.11. Montrer que l Øquation F(x) = admet une solution unique sur ]0;+1[.2Cet unique rØel, que l on notera m, sera appelØ mØdiane de X.2. Dans cette question, on suppose que X suit une loi exponentielle de paramŁtre 1.Montrer que X satisfait aux hypothŁses du dØbut de l exercice et dØterminer la mØdiane de X.t3. On suppose dans cette question que la densitØ de X est donnØe sur [0;+1[ par f(t) =t e et sur ] 1 ;0[par f(t) = 0.(a) VØri…er que f satisfait aux hypothŁses du dØbut de l exercice.(b) DØterminer la fonction de rØpartition F de X.(c) Montrer, sans chercher à la calculer, que la mØdiane m de X vØri…e 16m6 2.2(On donne 6
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ECRI COME Banque dépreuves communes aux concours des Ecoles es bordeaux/ esc marseille/ icnancy /esc reims/ esrouen /esc toulouse
CONCOURS DADMISSION
option économique
MATHÉMATIQUES
Aucun instrument de calcul nest autorisé. Aucun document nest autorisé.
Lénoncé comporte 4 pages
Année 2000
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de lénoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves) de leurs a¢ rmations.
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Exercice 1 SoitXune variable aléatoire à densité dénie sur un espace probabilisé.On notefune densité deX,Fsa fonction de répartition.On fait les trois hypothèses suivantes: i) Sitappartient à] 1;0[,f(t) = 0.
ii) Sitappartient à[0;+1[,f(t)est positif ou nul.
iii)fest continue sur]0;+1[.
1 1. Montrerque léquationF(x) =admet une solution unique sur]0;+1[. 2 Cet unique réel, que lon noteram, sera appelémédianedeX.
2. Danscette question, on suppose queXsuit une loi exponentielle de paramètre 1. Montrer queXsatisfait aux hypothèses du début de lexercice et déterminer la médiane deX.
t 3. Onsuppose dans cette question que la densité deXest donnée sur[0;+1[parf(t) =t eet sur] 1;0[ parf(t) = 0. (a) Vérierquefsatisfait aux hypothèses du début de lexercice. (b) Déterminerla fonction de répartitionFdeX. (c) Montrer,sans chercher à la calculer, que la médianemdeXvérie16m62. 2 (On donne6< e<9). On se propose, dans la suite de cette question, de calculer une valeur approchée demintroduit. On pour cela la fonctiongdénie sur[1;2]parg(x) = ln(2x+ 2), fonction qui va permettre de construire une suite convergeant versm. (d) Montrerqueg(m) =m. (e) Montrerque sixappartient à[1;2]alorsg(x)appartient à[1;2]et 1 jg(x)mj6jxmj 2 (f) Onconsidère la suite(un)dénie paru0= 1et pourn >0parun=g(un1).   n 1 Montrer quejunmj6 2 2 (g) Déterminerun entierntel queunsoit une valeur approchée demà10près. 4. Onrevient maintenant au cas général et on suppose que la variableXadmet une espéranceE(X)et une varianceV(X)note toujours. Onmla médiane deX. (a) Montrerquon a les inégalités : m+1 Z Z 2 2 V(X)>(tE(X))f(t)dtetV(X)>(tE(X))f(t)dt 0m (b) Endistinguant les casm6E(X)etm > E(X), montrer que: p jmE(X)j62V(X)
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Exercice 2 Eest lespace vectoriel des polynômes à coe¢ cients réels et de degré inférieur ou égal à 3.On désigne parf lapplication qui à un polynômePdeEassocie le polynômef(P)déni par: f(P)(X) =P(X+ 1) +P(X)
1. Montrerquefest un endomorphisme deE.
2 3 2. OnnoreBla base usuelle deEconstituée, dans cet ordre des quatre polynômes1,X,X,X. 0 1 2 1 1 1 0 2 2 3 B C Montrer que la matrice defdans la baseBest @ A 0 0 2 3 0 0 0 2
3. Montrerquefest bijectif.
1 4. Calculerla matrice defdans la baseB. 2 3 5. SoitPun élément deEdéni par :P(X) =a0+a1X+a2X+a3X. 1 (a) Expliciteren fonction des réelsa0,a1,a2,a3le polynômeQ=f(P). (b) Onconsidère pour tout entier strictement positifnla somme k=n X k S(n() =1)P(k) k=1 n Exprimer simplementS(n)en fonction de(1),Q(n+ 1)etQ(1). (c) Expliciteralors la valeur deS(n)en fonction den,a0,a1,a2,a3
Exercice 3 Test lensemble des couples(x; y)de réels solutions du système dinéquations 1 13 x>y>x+y6 4 44 0 On noteTlintérieur deTà savoir lensemble des couples(x; y)solutions du système dinéquations 1 13 x >y >x+y < 4 44 1 12 Soitfla fonction dénie surTpar :f(x; y+) =x y x+y 0 1. Représentersur un même graphiqueTetT. 02 2. Onadmet queTest un ouvert deR. 0 (a) Déterminerles dérivées partielles dordre1surTde la fonctionf. 0 (b) Montrerquefnadmet pas dextremum local (et donc a fortiori absolu) surT.
3. Démontrerpar de simples considérations sur des inégalités que lon a pour tout couple(x; y)deT: 16 26f(x; y)6 3 On considère une urne contenant des boules blanches (en proportionp), des boules rouges (en proportionr) et des boules vertes (en proportionu).
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1 11 On suppose quep>r>u>et quep+r+u= 1. 4 44 On e¤ectue indéniment des tirages successifs dune boule dans cette urne avec remise entre deux tirages. Pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 1, on noteBn(respectivementRn,Vn) lévénement:Tirer ieme une boule blanche (respectivement rouge, verte) auntirage". On appelleX(respY) la variable aléatoire égale au rang dapparition de la première blanche (resp rouge). On dénit alors la variableD=jXYjégale au nombre de tirages séparant la sortie de la première blanche et de la première rouge.
4. Déterminerla loi deXde même pour. FaireY.
5. SoitietjEn distinguant les casdes entiers naturels non nuls.i=j,i < jeti > j, exprimer lévénement (X=i)\(Y=j)à laide des événements décrits dans lénoncé. En déduire la loi du couple(X; Y).
6. LesvariablesXetYsont-elles indépendantes?
7. Soitkun entier naturel non nul, montrer légalité: h i pr k1k1 P(D=k(1) =p) +(1r) p+r
8. MontrerqueDadmet une espérance et queE(D) =f(p; r). EncadreralorsE(D).
Fin de lépreuve
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