Ecricome 2000 mathematiques classe prepa hec (s)

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ECRICOME 2000. Math´ematiques, option SEXERCICE 1mm est un entier sup´erieur ou ´egal `a 3. On identifie un vecteur deR `a la matrice colonne de sescoordonn´ees dans la base canonique. Toutes les matrices consid´er´ees sont `a coefficientsr´eels.tSi M est une matrice, on note M sa transpos´ee. On rappelle que pour deux matrices M et N,t t t(MN) = N M.Si M est une matrice carr´ee d’ordre m, on note respectivement E et F le noyau et l’image deM Mml’endomorphisme deR dont la matrice dans la base canonique est M.mR est muni de son produit scalaire canonique d´efini pour deux vecteurs X et Y par :t(X|Y) = XY. La norme euclidienne d’un vecteur X, associ´ee a` ce produit scalaire, est not´ee||X||.Soit n un entier sup´erieur ou ´egal `a −1. On dit qu’une matrice A carr´ee d’ordre m est det ntype n si A =A .1)a)Qu’est-ce qu’une matrice de type 0, de type 1?b)Donner un exemple, sous forme de tableau, de matrice non diagonale de type −1.On suppose d´esormais que n est strictement plus grand que 1.2) Dans cette question seulement on suppose m = 3. 0 0 0 Soit x un nombre r´eel et N(x) la matrice : 0 cos(x) –sin(x)0 sin(x) cos(x)ka)D´emontrerparr´ecurrencequepourtoutentierstrictementpositifk ona: N(x) =N(kx).b)D´eterminer alors les r´eels x tels que N(x) soit une matrice de type n.On revient au cas g´en´eralm quelconque et on consid`ere maintenant une matriceA carr´ee d’ordrem et de type n. On se propose d’´etablir quelques propri´et´es de A.2(n ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ECRICOME2000.Mathe´matiques,optionS
EXERCICE 1 m mu´egeuro3.Onal`aitedinetcuenueverdesenuteitnpusrire´Ral`ceriatamdennolocsese coordonne´esdanslabasecanonique.sticneoceToutecirnocselsetamssoes`antd´si´eer re´els. t SiMest une matrice, on noteMecirsquleouepeurdatxmnartaselppraOne.´eosspMetN, t tt (M N) =N M. SiMrtcicera´reedroedrestunemam, on note respectivementEMetFMle noyau et l’image de m l’endomorphisme deRdont la matrice dans la base canonique estM. m Recxveurdouipn´edeuqinonacerialaroduitscnidesonpetsumsetruXetYpar : t (X|Y) =XY. La norme euclidienne d’un vecteurXduroepacaialscitontse,eree´t,sae´`eosic ||X||. Soitn`aunentierspue´irueor´ugela1.On dit qu’une matriceAerodrrracdee´mest de tn typensiA=A. 1)a)?Qu’est-ce qu’une matrice de type 0, de type 1 b)Donner un exemple, sous forme de tableau, de matrice non diagonale de type1. Onsupposede´sormaisquenest strictement plus grand que 1. 2)Dans cette question seulement on supposem= 3.   0 00   Soitxe´leteunnombrerN(x) la matrice :0 cos(xsin() –x) 0 sin(x) cos(x)  k a)encecurrrr´eerpanort´Dmeitfntmesipotrrsteicetuoeitnpeuqtruokon a :N(x) =N(kx). b)lDe´sert´eeremlineralorssxtels queN(x) soit une matrice de typen. Onrevientaucasg´en´eralmuelcqis`dcnnoeeotnouqnetuanenntaiemerecirtamAodrerdee´rrac met de typen.Onseproposed´elbatuqriuqlerpseriopt´´edeesA. 2 (n) 3)a)bailtEgelalr´it´eA=A. n+1n b)On poseB=A. Montrer queB=Bet queBirte.euqcerim´syuenstatem c)uQuepedeesprelrupsornaatxuaveduirequt-onend´B? t d)SoitVun vecteur propre deBeorrpuepravale`aloci´ass1. En calculantV BVde deux manie`resdie´rentesmontrerquelonaboutit`aunecontradictionetquainsi1 ne peut pas ˆetrevaleurpropredeB. e)Montrer queBest une matrice de projecteur orthogonal. 4)a)Montrer queEBest inclus dansEApuis queEB=EA. b)Montrer queFA=FBet queEAetFAtrohersosxu.oganeme´iatnstnolppu 5)SoitUun vecteur deFA. Montrer que||AU||=||U||. 6)Montrer que siAest inversible et de typenalorsAest aussi de type1. 7)Montrer que siAepytedsoiafalt`esnet de typen+ 1alorsAest une matrice de projecteur orthogonal.
EXERCICE 2 aetbfi,sneptsotistrictemuxr´eelsosedtnse0tsvlee´rnutnaire´< s <1. Z +1 1)a)t´eglinralenoevlrcaecedgrneliabEtJ= du. u e +a 0 b)CalculerJleraupr´ealableaperexpmelc,lauc(O.ounpa,rraJ.) Onconsid`ereunesuitedevariablesal´eatoires(Yk)k>0Ω´s(eacepnespbilirobae´dseinurus,A, P), inde´pendantesetsuivantlameˆmeloiexponentielledeparam`etreb.
Onconside`re´egalementunevariableal´eatoireN,´eisbalirpboapecemseemˆesurlnied´e ind´ependantedesYktnaviuste`mteereuedaparom´etriqlaloig´es. On admet queZdn´eei parZ= max(Y1, Y2, . . . , YNtisneda`.e´lealriaboire´eat)enavseut On rappelle que siωsunstee´´lmenedtΩelaroZ(ω)estleplusgrddna´rseslee: Y1(ω), Y2(ω), . . . , YN(ω)(ω) 2)Soitjun entier strictement positif ett´eelunrlureaCclit.fopisitilco´eprlaabobelletidnnnoi P(Zt/N=j). 3)a)End´enotcoidnudrilefarietrape´relednoitibliaaravtoeal´eaZ. b)Dmrnie´etedenerunedesit´Z. ln(s) 4)Montrer queZteuqleoan:datumeesneerp´ceanE(Z) = b(1s) Seuller´esultatdelaquestion4)estn´ecessairepourtraiterlesquestions suivantes. t te 5)Soitg0[ruslctioafonniend´e,+[ par :g(0) = 1 etg(t) =pourt >0. t 1e a)Montrer que la fonctionginntetueecost0[runrobsee´,+[. b)ourtir,ptablEe´leuorttraetapp[0`antna,+[ et tout entiernf´itli,lsaogpee´ti: n X (n+1)t(k+1)t g(t) =g(t)e +te k=0 Z +(k+1)t 6)Justifier la convergence, pour tout entier positifke´rgitnel,dlaete dtet la 0 calculer. Z++X 1 7)ilee´tnolaruqsrMorentgraleg(t) dtegtnee´ttsocvnree.ae`aleg 2 k 0 k=1 2 π 8).eets´erittesdeceommesaleuqtemdanO 6 Z 1 2 ln(s)π Montrer que la valeur moyenne deE(Z) sur ]0,-a`-tsecerid1[,dse´agela`ste. b(1s) 6b 0
` PROBLEME
pe´vlair0tnestunr´ee< p <1. Une entreprise dispose deNcopies d’un logiciel. Une proportionpissdcede´eepartcefnitsesetteuq unvirus.Ilestmalheureusementimpossibledediscernerunecopiesainedunecopiecontamin´ee. On suppose que le nombreN´eceutsprireN=nm,netmientstrsctrienemtte´dtnaexue supe´rieursa`1. Undesresponsablesduservicestatistiquesproposelam´ethodesuivantepourassainirlelot: LesNltnee´gaselamrofsiietiniopcn0.n´eratio Onpre´le`venlno,ocsetare0noienneecpicuhaseiduaqtteevretcashusadraslag´en´emisedan mexemplaires. Lesnm=Neutitsnocseunetbontira´eeng´lant1.nsioesaiuettdisq Onproc`ededelamˆemefa¸conpourfabriquerlag´en´eration2`apartirdelag´en´eration1,la ge´n´eration3`apartirdelage´ne´ration2,etc.Duranttoutleprocessus,lacopiedunedisquette saineestsaine,celledunedisquettecontamin´eeestautomatiquementcontamine´e. Le statisticien pense que si la proportionpinitiale est faible, on a de bonnes chances d’obtenir unlotsainapre`sunassezgrandnombredop´erations.Lobjetdeceproble`meestdeve´rierou d’infirmer cette conjecture. Re´sultatpre´liminaire Onconside`reuncoupledevariablesale´atoires(X, YpaceunesabilprobΩ(sie´ienurss´e)d,A, P) On suppose queuettsont deux entiers strictement positifs. 2
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