Ecricome 2001 mathematiques classe prepa hec (eco)

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ECRICOMEBanque d’´epreuves ´ecrites communes aux concours des EcolesESC Bordeaux, ESC Marseille-Provence ESC Reims, ESC Rouen, ICN NancyCONCOURS D’ADMISSION 2001Option ´economique´MATHEMATIQUESMardi 24 avril 2001 de 8h 00 a` 12h 00Dur´ee : 4 heuresAucun instrument de calcul n’est autoris´e.A document n’est autoris´e.Les candidats sont invit´es a` soigner la pr´esentation de leur copie, `a mettre en ´evidence les prin-cipaux r´esultats, `a respecter les notations de l’´enonc´e, et a` donner des d´emonstrations compl`etes(mais br`eves) de leurs affirmations.1. EXERCICE.Dans cet exercice on ´etudie l’´evolution au cours du temps d’un titre dans une bourse de valeurs.1.1. Le but de la premi`ere partie est de calculer les puissances successives de la matrice : 1−2a a a M(a) = a 1−2a aa a 1−2aou` a repr´esente un nombre r´eel.1. Montrer que, pour tous r´eels a, b, on a : M(a).M(b) =M(a+b−3ab).2. En d´eduire les valeurs de a pour lesquelles la matrice M(a) est inversible et exprimer son inverse.3. Justifier le fait que M(a) est diagonalisable.4. D´eterminer le r´eel a non nul, tel que :02[M(a )] =M(a )0 05. On consid`ere les matrices :P =M(a ) et Q =I−P0ou` I d´esigne la matrice carr´ee unit´e d’ordre 3.1(a) Montrer qu’il existe un r´eel α, que l’on exprimera en fonction de a, tel que :M(a) =P +αQ2 2(b) Calculer P , QP, PQ, Q .n(c) Pour tout entier naturel n, non nul, montrer que [M(a)] s’´ecrit comme combinaison lin´eaire de Pet Q.n(d) ...
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ECRICOME Banqued´epreuvese´critescommunesauxconcoursdesEcoles ESC Bordeaux, ESC Marseille-Provence ESC Reims, ESC Rouen, ICN Nancy
CONCOURS D’ADMISSION 2001
Option´economique ´ MATHEMATIQUES Mardi24avril2001de8h00`a12h00 Dur´ee:4heures
Aucuninstrumentdecalculnestautorise´. Aucundocumentnestautorise´.
Lescandidatssontinvit´esa`soignerlapre´sentationdeleurcopie,a`mettreen´evidencelesprin-cipauxre´sultats,a`respecterlesnotationsdel´enonc´e,eta`donnerdesd´emonstrationscomple`tes (maisbre`ves)deleursarmations.
1. EXERCICE. Danscetexerciceon´etudiele´volutionaucoursdutempsduntitredansuneboursedevaleurs. 1.1.Lebutdelapremie`repartieestdecalculerlespuissancessuccessivesdelamatrice:   12a aa   M(a) =a12a a a a12a ou`aree´le.uennmorbntse´eprre 1.Montrerque,pourtousre´elsa,b, on a :M(a).M(b) =M(a+b3ab). 2.End´eduirelesvaleursdeapour lesquelles la matriceM(a) est inversible et exprimer son inverse. 3. Justifierle fait queM(a) est diagonalisable. 4.De´terminerler´eela0non nul, tel que : 2 [M(a0)] =M(a0)
5.Onconside`relesmatrices: P=M(a0) etQ=IP o`uIer3´.eeunit´terdicoercdarrgienalam´dse
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(a)Montrerquilexisteunr´eelα, que l’on exprimera en fonction dea, tel que : M(a) =P+αQ 2 2 (b) CalculerP,QP,P Q,Q. n (c) Pourtout entier natureln, non nul, montrer que [M(aede])se´rctiocmmcemobinaisonlin´eairP etQ. n (d) Expliciteralors la matrice [M(a)] . ´ 1.2. Evolutiond’un titre boursier au cours du temps.   2 Dans la suite de l’exercice, on suppose quea0,. 3 1.Ond´enitdessuites(pn)nN, (qn)nN, (rn)nNpar leur premier termep1,q1,r1, et les relations de ∗ ∗ ∗ re´currence: pn+1= (12a)pn+aqn+arn qn+1=apn+ (12a)qn+arn rn+1=apn+aqn+ (12a)rn (a) Exprimerpn,qn,rnen fonction den,p1,q1,r1. ´ (b) Etudierla convergence de ces suites. 2.Dansuneboursedevaleurs,untitredonne´peutmonter,resterstable,oubaisser.Dansunmode`le mathe´matique,onconsid`ereque: – lepremier jour le titre est stable; 2 – si un journ, le titre monte, le journacl+li,1tnomaarelcevaprobabilit´e,ertsresaatlbaeev 3 1 1 probabilite´,etbaisseraaveclaprobabilit´e; 6 6 1 – siun journ, le titre est stable, le journalcevaelonlmrate,i+1bobalitivacealrpterastab´e,res 6 2 1 probabilit´e,etbaisseraaveclaprobabilit´e; 3 6 1 – si un journ, le titre baisse, le journr,e´titsaretselaecavrailabobpr1+noeti,mlableavecla 6 1 2 probabilite´,etbaisseraaveclaprobabilit´e. 6 3 On noteMn(respectivementSn, respectivementBnmo´enndoreitetltnemene´ve´l)ntceitevemtn(eerps reste stable, respectivement baisse) le jour n”. (a)Exprimerlesprobabilite´sdehausse,destabilit´e,etdebaisseaujournfoentincdeonsmceemeˆs1+ probabilite´saujourn. (b)Ende´duirelesprobabilite´sdehausse,destabilit´e,etdebaisseaujourn. (c)Quellessontleslimitesdecesprobabilit´eslorsquen?tend vers l’infini
2. EXERCICE. Unsyst`emeestconstitu´edenpmsonastocires´lasotaeiravelbaquseeselns.OpoupT1, T2, . . . , Tnmesurant le temps de bon fonctionnement de chacun desnocependantes,demˆepmsonastostnni´dtienleelolemal,ieiolnopx deparame`treλ >0. 2.1.Calculdunombremoyendecomposantsde´faillantsentrelesinstants0ett. On noteNtentsanllaiefd´tse0stnatsniselerttbairlaelaval´egaleau´eatoireocpmsonaonbmeredtavect>0. 1. Pourtous les entierside{1,2, . . . , n}lac,lecuaprlbarolibi´tdele´vee´enemnt{Ti< t}. 2. MontrerqueNtsolenutiumiˆoinib´ePre.alsrseices`mteapartsonreseeranesp´ceE(Nt). ` 3. Apartir de quel instantt0rembite´udoni-llmaioepasse-tllantsd´iafe´dstnasopmocdeenoyembromenl de composants? 2.2.Montageens´erie. Onsupposequelesyst`emefonctionnecorrectementsitouslescomposantseux-mˆemesfonctionnentcorrecte-ment et noteSnaravblial´eatoealeme.yst`tdusemenemettlanuresemirnnoitcnofnobedsp
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1. PourtRerim´elenv´enemt,xerp{Sn> t}´ev´ndesentseneme:nofnoitc
{T1> t},{T2> t}, .. .{Tn> t}. 2.D´etermineralorslafonctiondere´partitionFn, deSn,psduiedsntie´e´nriasfn. 3. Reconnaˆıtrela loi deSneslullccanssaernnodtenaec´preE(Sn) et la varianceV(Sn) deSn. 2.3.Montageenparalle`le. Onsupposemaintenantquelesyst`emefonctionnecorrectementsilunaumoinsdescomposantsfonctionne correctement et noteUn.esusy`tmeraailvaemestoirl´eableaobedspmeteltnarutdenemnnioctonnf 1. Exprimer{Un< t}e´veemennoit´sedenfoncsnt{T1< t},{T2< t}, .. .{Tn< t}. 2.D´etermineralorslafonctionder´epartitionGndeUnontrerquesadensi´temsiupgn:arets´deinpe (  n1 λtλt gn(t) =1e e, t>0 gn(t) = 0<, t0 3.Montrerlexistencedelesp´eranceE(Un) deUnet prouver que : n1 X k 1 (1) k+1 E(Un) =C n λ k+ 1 k=0 puis, que pour tous entiers naturelsn, 1 E(Un+1)E(Un) = λ(n+ 1) 4.Parsommationdelarelationpre´ce´dente,etenutilisantl´equivalentsimple: n X 1 lnn n+k k=1 donnerun´equivalentsimpledeE(Un) lorsquentend vers +. 3. EXERCICE. Onde´signeparnun entier naturel non nul etaelstnr´eemenrictfitisoptu. Onseproposed´etudierlesracinesdel´equation: 1 11 1 (En+ + +) :. . .+ =a x x+ 1x+ 2x+ 2n ` A cet effet, on introduit la fonctionfnailbvarad,leleel´eerxien´ed:rap 1 11 1 fn(x) =+ + +∙ ∙ ∙+a x x+ 1x+ 2x+ 2n ´ 3.1. Etuded’un cas particulier. 11 Pour cette question seulement, on prenda= etn= 1. 6 1.Repre´senterlafonctionf1revemelatierp`rteo`antreunlpud.naonohlamr (unit´egraphique2cm) 2. Calculerf1(inrmte´esdui,p1)(edsenicarselreE1). 2 (On donne37 = 6,asfetaupdpre`´r1a00)`8 3.2.De´nombrementdesracinesde(En). 1. Dresserle tableau de variations defn. 2.Justierlexistencederacinesdel´equation(En.btmee)relenoinertermnd´e
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