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ECRI COME Banqued´epreuvescommunes aux concours des Ecoles es bordeaux/ esmarseille /ic nancy/ esc reims/ esrouen /esc toulouse
CONCOURS D’ADMISSION
option technologique ´ MATHEMATIQUES Anne´e2001 Aucuninstrumentdecalculnestautoris´e. Aucundocumentnestautoris´e. Le´nonce´comporte3pages
Lescandidatssontinvit´es`asoignerlapre´sentationdeleurcopie,a`mettreene´videncelesprincipaux r´esultats,a`respecterlesnotationsdele´nonce´,et`adonnerdesde´monstrationscompl`etes(maisbre`ves) de leurs affirmations. Tournez la page S.V.P
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Exercice 1 x Soitfruseineond´nctilafoRparf(x) =ex 1. (a)De´terminerleslimitesdefen +et−∞ (b)Montrerquelacourberepr´esentativedefadmetuneasymptoteobliqueen−∞dont on donnera une ´equation. 2. Etudierles variations de la fonctionfet dresser son tableau de variations. 3. Montrerque pour tout entiernroeuri´eups2laa`´ugeqeau1´tionf(x) =nadmet deux solutions de signes contraires.Lasolutionpositiveseranot´eean. 4.Tracerlacourberepre´sentativedef. Faire apparaˆıtrea2eta3dra1prene.Onhiqutie´runumcopelrupargs sur les axes ete'2,7 5. Etudierles variations de la suite (an)n>1 6. Montrerque pour tout entiern>:e1na,oinlga´et´lian>lnn. Ende´duirelalimitedelasuite(an) quandntend vers l’infini.
Exercice 2    11 0 03 6    On donne les matrices suivantes:A= 6et8 12I31 0= 0 33 40 0 1 2 2 1. CalculerAuqrertnomteslr´eedeuxisteilexaetbdne´leouqmretreniletaeuqsA=aA+bI3. 1 2.End´eduirequeAest inversible et exprimerAen fonction deAetI3. 3. Soient(un) et (vnsd´euitesparnie)uesxeldsder´ionselatlesr:eercnceru u0= 0;v0= 1;un+1=un+vn;vn+1= 2un n Montrerparr´ecurrenceque,pourtoutentiern>0, A=unA+vnI3. 4. (a) Onposexn=un+vn. Montrer que, pour tout entiern>0, on axn= 1. (b) Pourtout entiern>0, on poseyn= 2unvn. Montrer que la suite (ynse)e´gte´moqirtetue´eprseciarrssroalerimprExn.soaiynen fonction den. (c)End´eduirelesexpressionsdeunetvnen fonction den. 5. Montrerque pour tout entiern>0, on a    1 12 1 n nn A=(2).A+ +(2).I3 3 33 3 Cette formule est-elle encore valable pourn=1 ?
Exercice 3 Uneusinedisposededeuxchaˆınesdeproductiondampoules´electriques.Onsupposequelaprobabilite´quune ampoulesoitde´fectueuse`alasortiedeluneoulautrechaˆıneestde1%. OnsupposequelachaıˆneAtquelachparjouremaoplusebairuqnefnıˆaeBen fabrique m par jour. On appelle Xu´iqspeelaaraˆchenıeaunegalire´eatoae´lailbvaralbrfaesusuectfe´edseluopmaderbmoAun certain jour, et parYlavariabellae´taioere´agmbnoaulepoamdrefe´dseluesueutceriqusfabparl´eesıˆencaahBruojnO.eˆemcme suppose que les deux variablesXetYitdne´epsnondantes. 1.ReconnaıˆtrelesloisdeXetY.noes´rpelantatiusnje
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2. Onteste une par une lesm+nbrfau´iqsueeerncopmaselutioneicatdeesrlpaurjointarbafedsenıˆahcxu on appelleSr´ev´el´uisesonttceususeeedse´efaleguneatoeae´iruopmqselrbmoadeae´lailbvaral.
(a)Reconnaıˆtrelaloidelavariableale´atoireS. (b) CommentexprimerSen fonction deXetY?
3. Onsuppose quen= 4000 etm= 6000.
(a) Justifierque l’on peut approcher la loi deSlamrnodepnotce´rerisesalrapaetm`er.sparuneloino (b)Enutilisantcetteapproximationetennetenantpascomptedelacorrectiondecontinuite´,calculerla probabilite´quelenombredampoulesd´efectueusesfabrique´escejoursoitcomprisausenslargeentre 95 et 105.
4.Lesampoulesenbon´etatsontvenduesdanslecommerceetonestimequeladure´edevieenheuresdechaque ampouleestunevariableal´eatoirere´ellequisuituneloiexponentielledeparam`etre0,001. Une personne ach`etedeuxampoulesquellemetenserviceaumˆememoment.Onsupposequelesdure´esdeviedeces deuxampoulessontinde´pendantes.
(a)Calculerlaprobabilite´quelesdeuxampoulesfonctionnentaumoins500heures. (b)Calculerlaprobabilit´epourquuneseuleampoulefonctionneencoreapre`s1000heures.
Valeursnum´eriquesapproche´es 112 5 e'0,368, ee'0,233, F( )'0,692, 3 11 Fncfolantr´deontiangise´dmaleinorr´eecentititperaalolnoedde´retiu.
Findel´epreuve
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