Ecricome 2002 mathematiques classe prepa hec (stg)

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ECRICOMEBanque d’´epreuves communesaux concours des Ecolesesc bordeaux / esc marseille / icn nancy / esc reims / esc rouen / esc toulouseCONCOURS D’ADMISSIONoption technologique´MATHEMATIQUESAnn´ee 2002Aucun instrument de calcul n’est autoris´e. document n’est autoris´e.L’´enonc´e comporte 4 pagesLes candidats sont invit´es `a soigner la pr´esentation de leur copie, a` mettre en ´evidence les principauxr´esultats, a` respecter les notations de l’´enonc´e, et a` donner des d´emonstrations compl`etes (mais br`eves)de leurs affirmations.Tournez la pageS.V.P1Exercice 1√2On consid`ere la fonction f d´efinie par f(x) = x −x+1 et on note C la courbe repr´esentative de f dans unrep`ere orthonormal.(1u =0On d´efinit la suite (u ) par:n 2u = f(u ) si n> 0n+1 nEtude de la fonction f21. Etudier le signe du trinˆome P(x) d´efini surR par: P(x) =x −x+1En d´eduire que f est d´efinie surR2. Etudier f ,pr´eciser les limites aux bornes, puis dresser son tableau de variations surR.3. Comportement de C au voisinage de +∞(a) Montrer que ,pour tout x strictement positif:1−1xrf(x)−x =1 11− + +12x x(b) En d´eduire la valeur de lim (f(x)−x) ainsi qu’une ´equation de (Δ) asymptote `a (C) en +∞ .x→+∞4. R´esoudre l’´equation f(x) =x105. Majoration de la valeur absolue de f sur l’intervalle [ ;1]20(a) Exprimer f (x) en fonction de x et de f(x)r1 3(b) Montrer que∀x∈ [ ;1], f(x)>2 41 10 √(c) En d´eduire que∀x∈ [ ;1], |f (x)|62 3Convergence de la suite (u ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ECRI COME Banqued´epreuvescommunes aux concours des Ecoles es bordeaux/ esmarseille /ic nancy/ esc reims/ esrouen /esc toulouse
CONCOURS D’ADMISSION
option technologique ´ MATHEMATIQUES Anne´e2002
Aucuninstrumentdecalculnestautoris´e. Aucundocumentnestautoris´e.
Le´nonce´comporte4pages
Lescandidatssontinvit´es`asoignerlapre´sentationdeleurcopie,a`mettreene´videncelesprincipaux r´esultats,a`respecterlesnotationsdele´nonce´,et`adonnerdesde´monstrationscompl`etes(maisbre`ves) de leurs affirmations.
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Tournez la page S.V.P
Exercice 1 2 Onconsid`erelafonctionfd´enieparf(x) =xxonnote1+r´eperrbouacClteevedseneatitfdans un rep`ereorthonormal. ( 1 u0= Onde´nitlasuite(un) par: 2 un+1=f(un) sin>0
Etude de la fonction f 2 1.EtudierlesignedutrinoˆmeP(x)dn´eurisRpar :P(x) =xx+ 1 End´eduirequefneiusrestd´eR 2. Etudierftionariaudevbleanoatessrrdseupsis,neorxbauesitimlselresice´rp,russR. 3. ComportementdeCau voisinage de +(a) Montrerque ,pour toutxstrictement positif: 1 1 x f(x)x=r 1 1 11+ + 2 x x (b)End´eduirelavaleurdelim(f(x)xains)itnoqeaunu´eqiu`atetompsy)a(Δde(C) en +. x+4.Re´soudrel´equationf(x) =x 1 0 5. Majorationde la valeur absolue defsur l’intervalle [; 1] 2 0 (a) Exprimerf(x) en fonction dexet def(x) r 1 3 (b) Montrerquex1][ ;, f(x)> 2 4 1 1 0 (c)Ende´duirequex[ ;1],|f(x)|62 3 Convergence de la suite(un) 1 1.Montrerparre´currenceque:nN,un[ ;1] 2 2.Montrerparre´currenceque:nN,un6un+1 3. (a) Justifierque la suite (une.itimalrpteetnesresice´)estconverg 1 n (b)Montrerparre´currenceque:nN,|un1|6()|u01| 3 Exercice 2 Onconsid`erelesmatricessuivantes:   1 1   0   0 00 4 22 011 0 1 1  0 10    M0= 1, P1= 12, D= , Q= 33 3   2 3   1 10 2 1 10 10 0 0 4 4 2
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Calcul des puissances de M n 1.De´terminerlexpressiondeD, pour tout entier naturelnnon nul. 1 2. CalculerP QeruqdeiunE´de.Pest inversible et exprimerP, sous forme d’un tableau de nombres. 1 3. Calculerle produitPP M ×n n1 4.Montrerparre´currenceque:nN, M=PP D. n 5. EcrireMseut`onuer,sonbmaudeableuntrmedsuosofal.lunnnoeluratrnientne
Suitesde´niesparunerelationder´ecurrence un+ 2wn un+1= u0= 04 un+ 2vn Onconside`relessuites(un), (vn) et (wnein)´d:rseapv0= 0.etnN, vn+1= 4 w0= 1u+ 2wn n wn+1= 4   un   Pour tout entier natureln,on note:Xn=vn wn 1. ExprimerXn+1en fonction deMet deXn 2. n (a)End´eduirelexpressiondeXnen fonction deMet deX0pour tout entierns,pue´irueor´uegal`a1. (b)Alaidedesre´sultatsobtenusen5,de´termineralorslexpressiondeun,vnetwnen fonction den. (c)De´terminerleslimitesdessuites(un), (vn) et (wn).
Exercice 3 Uncommer¸cantdisposedunstockdeplantes.Chacunedesplanteseuritunefoisparan. 3 Pourchaqueplante,lapremie`reanne´e,laprobabilit´ededonneruneeurrosevaut,laprobabilit´ededonner 4 1 une fleur blanche vaut. 4 Puislesanne´essuivantes,pourtoutentiernaturelnnonnul: silanne´enlorslanurrose,a´nee,pllaue´neenetnanodan+ 1elle donnera une fleur rose. silann´eenno´netdaeruueenche,blansellalornodearennalee´nanpllanrpbobaelnue1d+a¸efn´couieq fleur rose ou une fleur blanche.
Etude d’une suite nreitutannlerunnoPol.unurlaepednteeo,no´nenntod´esigneunenpnne´ve´l,tnemeobablapr´edeilitRnla plantedonneuneeurroselani`emeann´ee 1.Alaidedelaformuledesprobabilite´stotales,montrerquelasuite(pn)n>1ti´ehmitarteuiestsnueoc ge´ome´triquequiv´erie: 1 1 pn+1=pn+ 2 2 2.End´eduirelexpressiondepnen fonction denet dep1. 3. Quevautp1edd´En?reuipnlim, ainsi que la valeur depn n+4. (a)Quelleestlaprobabilite´pourquelaplantenedonnequedeseursrosespendantlesnre`emireps anne´es? (b)Quelleestlaprobabilit´epourquelaplantenedonnequedeseursblanchespendantlesnpsere`imer ann´ees?
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Etudedunevariableale´atoire. Unclientvientdacheterunecommandede10000planteschoisiesauhasarddanslestock.Ond´esigneparXla variableale´atoire´egaleaunombredeplantesparmiles10000achet´eesquidonnentlapremi`ereann´eeuneeur rose. 1.ReconnaıˆtrelaloideX, donner la valeur deE(X) et deV(X). On noteσ´elrtcapetyed.X V´erierquelonaσ3= 25 2. Parquelle loi normale peut-on approcher la loi deX? 3.Sanstenircomptedelacorrectiondecontinuite´,utilisercetteapproximationpourdonnerunevaleurap-proch´eedeP(74506X67550) . 2 On donne Φ()0,notcoidnree´aptritiondelaloinorm78`u,o´eΦdgnsiafelrtnecelaude´ree´e.it 3
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