Ecricome 2003 mathematiques classe prepa hec (stg)

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ECRICOMEBanque d’´epreuves communesaux concours des Ecolesesc bordeaux / esc marseille / icn nancy / esc reims / esc rouen / esc toulouseCONCOURS D’ADMISSIONoption technologique´MATHEMATIQUESAnn´ee 2003Aucun instrument de calcul n’est autoris´e. document n’est autoris´e.L’´enonc´e comporte 4 pagesLes candidats sont invit´es `a soigner la pr´esentation de leur copie, a` mettre en ´evidence les principauxr´esultats, a` respecter les notations de l’´enonc´e, et a` donner des d´emonstrations compl`etes (mais br`eves)de leurs affirmations.Tournez la pageS.V.P1Exercice 1xOn consid`ere la fonction f d´efinie par: f(x) = x+2−2ln(e +1) et on note (C) la courbe repr´esentative de fdans un rep`ere orthonorrnal.u = 00On d´efinit la suite (u ) par:nu = f(u ), ∀n∈Nn+1 nEtude de la fonction f.1. Justifier le fait que f est d´efinie surR.−x2. Montrer que pour tout x r´eel, on a: f(x) =−x+2−ln(e +1).En d´eduire que f est paire surR.3. D´eterminer la limite de f quand x tend vers +∞.4. D´emontrer que la droite D d’´equation: y =−x+2 est asymptote a` C et ´etudier la position de la courbe Cpar rapport a` l’asymptote D.0 05. Calculer f (x) ou` f est la fonction d´eriv´ee de f.0Etudier le signe de f et donner le tableau de variations de f.6. D´eterminer la solution, not´ee α, de l’´equation f(x) =x.xe7. Montrer que pour tout x r´eel: f”(x) =−2x 2(e +1)e−18. En d´eduire que: ∀x∈ [0,1], |f”(x)|6e+1Convergence de la suite (u ).n−2On donne les valeurs ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ECRI COME Banqued´epreuvescommunes aux concours des Ecoles es bordeaux/ esmarseille /ic nancy/ esc reims/ esrouen /esc toulouse
CONCOURS D’ADMISSION
option technologique ´ MATHEMATIQUES Anne´e2003
Aucuninstrumentdecalculnestautoris´e. Aucundocumentnestautoris´e.
Le´nonce´comporte4pages
Lescandidatssontinvit´es`asoignerlapre´sentationdeleurcopie,a`mettreene´videncelesprincipaux r´esultats,a`respecterlesnotationsdele´nonce´,et`adonnerdesde´monstrationscompl`etes(maisbre`ves) de leurs affirmations.
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Tournez la page S.V.P
Exercice 1 x Onconsid`erelafonctionfar:niepd´ef(x) =x+ 22 ln(eet on note (+ 1)Ce´estntarueberrpcola)ivedef dansunrepe`reorthonorrnal. u0= 0 Ond´enitlasuite(un:) par un+1=f(un),nN Etude de la fonction f. 1. Justifierle fait quefed´stnieuresR. x 2. Montrerque pour toutx:r´eel,onaf(x) =x+ 2ln(e+ 1). Ende´duirequefest paire surR. 3.De´terminerlalimitedefquandxtend vers +. 4.De´montrerqueladroiteDitno:d´qeauy=xymptote`a+2estasCdierlapoet´etualocruebisitnoedC parrapport`alasymptoteD. 0 0 5. Calculerf(x)o`ufesdeeev´e´iroidnnotcltfaf. 0 Etudier le signe defet donner le tableau de variations def. 6.D´eterminerlasolution,not´eeαitnoqeau,d´elf(x) =x. x e 7. Montrerque pour toutxee´r:lf”(x) =2 x2 (e+ 1) e1 8.End´eduireque:x[0,1],|f”(x)|6 e+ 1 Convergence de la suite(un). 2 Ondonnelesvaleursapproche´esa`10pr`essuivantes: f(0)'0,61f(1)'0.37 ln(e1)'0,54 1.Montrerparr´ecurrenceque:nN, un[0,1] e1 n 2.Montrerparre´currenceque:nN,|unα|6.( ) e+ 1 3.Ende´duirequelasuite(un´eelsunr)ecvoenrverges.re´ica`rp
Exercice 2   1 0 0 4 1 Onconside`relamatriceA1 1suivante : 2  1 0 0 4 e`me Calcul de la puissancende A.   1   1. Calculerle produit matricielA0.La matriceAest-elle inversible? 1 1 2 33 2 2. CalculerA ,A:et montrer queA= (A+A) 2 3.Prouver,parr´ecurrence,quepourtoutentiernaturelneli,lunnonlsr´eeedesxistanetbntels que: 1 an+1=bn+an 2 n2 A=anA+bnAavec. 1 bn+1=an 2 Donnera1etb1
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4. Montrerque pour toutnnon nul:an+bn= 1. 1 1 Ende´duireque:bn+1=bn+ 2 2 5. Exprimeralorsbnetanen fonction den.
Etudedelaloidunevariableal´eatoireXn Unpointlumineuxsede´placesurlessommetsduntriangle,note´sC0,C1,C2:selon le protocole suivant – -A l’instant 0, le point lumineux se situe enC0 Si`alinstantn,nN,le point lumineux est enC0,tanstinl`anil est en+ 1C1 1 × Sia`linstantn,nN, le point lumineux est enC1,tansnt`ialnil est en+ 1C0vanalcebalirpboe,tie´ 4 1 1 C1veclababiapro,e´tilneC2abobprla´eitil.ceva 2 4 × Sia`linstantn,nN\{1}le point lumineux est enC2,l`astintann+ 1il est enC1.
On appelleXne`aegalire´eato´laelbairavaliniueltmuopniiselale`nsietxsuvrotnatnsur le sommetCi, pour i∈ {0,1,2}   P(Xn= 0)   1. OnnoteUn:la matrice unicolonneUn=P(Xn= 1)ou`P(Xn=iestl)babiapro´tilledeve´ene´ntme P(Xn= 2) (Xn=i). Pre´ciserU0etU1. 2.Utiliserlaformuledesprobabilit´estotalesetmontrerque:Un+1=AUn n 3.End´eduirequepourtoutentiernnon nul:Un=A U0. Pr´eciserU2,puis montrer que:Un=anU2+bnU1. 4.End´eduirelesprobabilite´sP(Xn= 0),P(Xn= 1),P(Xn= 2) en fonction den,ainsi que leur limite quand ntend vers +. 5.Montrerquelespe´rancedeXneenitspe´dadnedetnn.
Exercice 3 Soitnsup´erieurou´egauentneinrtarule:tneurneeuanenntcocnO.2a`lre`disno uneboulenume´rote´e1. deuxboulesnum´erot´ees2. – .. . . nluobunseesm´erot´en. Epreuve 1 On tire une boule dans cette urne, on noteXbauodoleetunelboe.´mreelunattnseneepr´irereatoeal´lbairaval n Pn(n+ 1) 1.Montrerparr´ecurrence,quepourtoutentiernatureln>1, k= 2 k=1 2.D´eterminerlenombretotaldeboulesdanslurne. 2 3.D´eterminerlaloideXuerqieulicrtpaenire´vrete:P(X=n) = n+ 1 n Pn(n+ 1)(2n+ 1) 2 4. Onrappelle que pour tout entiernnon nul:k= . 6 k=1 Calculerlespe´rancedeXen fonction den.
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Epreuve 2 On tire maintenant 10 fois une boule avec remise dans cette urne, on noteYae´laelbairavalriotperese´ratnelent nombredefoiso`ulonaobtenuuneboulenum´erot´een. 1.ReconnaıˆtrelaloideY. 2.Donnerlavaleurdelesp´eranceetdelavariancedeY.
Epreuve 3. Ontiremaintenantuneinnit´edefoisunebouleavecremiseetonnoteZtantesenepr´irerellotae´laelbairava num´erodutirageou`pourlapremie`refoisonobtientuneboulenume´rot´een.
1. Reconnaˆıtrela loi deZ. 2.Donnerlavaleurdelesp´eranceetdelavariancedeZ.
Epreuve 4. Onseplacemaintenantdanslecaso`unobenutneitnocenruilnsAi2.=elnsmue´dtuebxuorot´ee1eulenum´et´rosee 2.Oneectuedanscetteurnedeuxtiragessuccessifssansremisedelapremi`erebouletire´e. On noteT1teelravalbai´laeotaeerirr´epenesnttaelun´mredolepaermi`erebouletir´eT2eabliaaravleriotae´l repre´sentantlenume´rodeladeuxie`mebouletir´ee. 1.Lorsdudeuxie`metirageonobtientuneboulenum´erote´e2.De´termineralorslaprobabilit´edele´ve´nement lapremi`erebouletir´eeestnume´rote´e2. 2.D´eterminerlaloiducouple(T1,T2).r´esrlneon(Dlbae)u.esultatsdansunta 3.Ende´duirelaloidesvariablesale´atoiresT1etT2. 4.Lesvariablesale´atoiresT1etT2dnepe´dnJ(?setnaonssileelt-nuraclacitsupre).ul 5.De´terminerlespe´rancedesvariablesal´eatoiresT1etT2eotri´laeecsiupeabliaaraveledllT1+T2.
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