Ecricome 2004 mathematiques classe prepa hec (s)

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Ecricome 2004, option scientifique.EXERCICE 1M (R) d´esigne l’espace vectoriel des matrices carr´ees d’ordre n `a coefficients r´eels (n> 1) et Enl’espace vectoriel des polynˆomes a` coefficients r´eels de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n−1.Onconsid`ereunematriceS deM (R)admettantnvaleurspropresr´eellesλ ,λ ,...,λ distinctesn 1 2 ndeux a` deux.L’objet de l’exercice est de montrer que, si k est un entier naturel impair et si une matrice A dekM (R) commute avec S , alors elle commute avec S.nDans la derni`ere question on ´etudiera un contre-exemple.−11) Justifier l’existence d’une matrice P inversible telle que la matrice P SP soit une matriceD diagonale. Dans la suite de l’exercice un entier naturel impair k est fix´e.n2) On consid`ere l’application f de E dans R qui `a tout polynˆome T fait correspondre lenvecteur deR d´efini par :k k kf(T) = T(λ ),T(λ ),...,,T(λ )1 2 na) Montrer que f est un isomorphisme d’espaces vectoriels.b)En d´eduire l’existence d’un unique polynˆome U de E tel que :k k kU(λ =λ , U(λ ) =λ ,...,U(λ ) =λ1 2 n1 2 nk3) Prouver que le polynˆome R, d´efini par R(X) =U(X )−X est un polynomˆ e annulateur deD puis de S.k k4) Soit une matrice A deM (R) v´erifiant AS =S A.npk pka) Montrer que pour tout entier naturel p, AS =S A.b)En d´eduire que les matrices A et S commutent, c’est-`a-dire que : AS =SA.5) On consid`ere les deux matrices A et S deM (R) suivantes :2 1 –1 0 1A = , S =2 2 1 0a) V´erifier que S poss`ede deux valeurs propres ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Ecricome 2004, option scientifique. EXERCICE 1 Mn(Rieldctortricesmarre´seacrordseded´)giselenapseevecneco`ar´tsenci(sleen>1) etE lespacevectorieldespolynˆomes`acoecientsre´elsdedegr´einfe´rieuroue´gal`an1. Onconside`reunematriceSdeMn(R) admettantn´reesorplpererlseusalvλ1, λ2, . . . , λndistinctes deux`adeux. L’objet de l’exercice est de montrer que, sikest un entier naturel impair et si une matriceAde k Mn(R) commute avecS, alors elle commute avecS. Dansladerni`erequestionon´etudierauncontre-exemple. 1 1)Justifier l’existence d’une matricePinversible telle que la matriceP SPsoit une matrice Ddiagonale. Dans la suite de l’exercice un entier naturel impairk´ex.ets n 2)Oonncd`silereppaacilnoitfdeEdansR`itauqˆomeolynoutpTfait correspondre le n vecteur deRnied´ap:r   k kk f(T) =T(λ), T(λ), . . . , , T(λ) 1 2n a)Montrer quefest un isomorphisme d’espaces vectoriels. b)uqpeuninoˆemlonyexisreledutenciude´dnEUdeEtel que : k kk U(λ ,. . 1=λ1, U(λ2) =λ2. , U(λ) =λn n k 3)vureuqlepelonyoˆPermoRrapine´d,R(X) =U(X)Xpounsterdetauennlumoaeylˆn Dpuis deS. k k 4)Soit une matriceAdeMn(Ranit)erv´AS=S A. pk pk a)Montrer que pour tout entier naturelp,AS=S A. b)esiceseltrmadeiueruqnE´dAetSue:ireq`a-dc,t-tsemmocnetuAS=SA. 5)esictrmauxdeesreleis`dcnnoOAetSdeM2(R) suivantes :    1 –10 1 A=, S= 2 21 0 a)euV´erierqSet.sitcnp`ssodedevxueeualprrsreopissd b)Montrer queAcommute avec toute puissance paire deS, mais ne commute pas avecS. EXERCICE 2   π1 Onconside`relafonctionfitnreavneiuslrd´eellI= 0,par :f(x) = 4 cosx π I0= 4 Z π ainsiquelasuiter´eelle(In)nNsuivante :4  n nN, In=f(x) dx 0 Partie 1edeuqijectionr´eciprotEdudelebaf. 1)Montrer quefear´ebunseliitnojiceedIdans un intervalleJa.Oniserqru´eelconponet 1 fe.quroipecr´onceitbajil 1 2)sdveeenestitaemeˆmelrusrennoDelallurgraphiquebrspe´rdeseocrufet def.   1 1 cosf(x) = x r 3)Justifier que :xJ,   1 1 sinf(x1) =2 x 1 4)Montrer quef´drevibaelusrsteJ\ {1}et montrer que :  01 1 xJ\ {1}, f(x) =2 x x1 1 5)Ed´eend2nee´timiltnemepplove´eedelirdufre1.ord`al
Partie 2ed´eridesdtudeEviseecsssscu´veef. (n) 1)Justifier quefest de classeCsurI, on notefd´eriv´eealned-i`emefsurI. 2)Montrer que pour tout entier naturelnnnluonxist,ileolyneˆuomnepPntel que : (n)Pn(sinx) xI, f(x) = n+1 cos (x) 3)nylopselrenimret´eDˆomesP1etP2. 20 4)Montrer que :nN, Pn+1= (1X)P+ (n+ 1)X.P n n Ende´duirelepolynoˆmeP3. 5)eltnetuotrrutanreitermD´e,pouinernnuonngrdelel,ominantdue´teeloceicnedt polynˆomePn. Partie 3eleduiasdtet´indutEs.leraeg 1)Justifier que la suite (In)nN´eniendestbelrlauceiC.I2. 1a b 2)rlner´esetD´miersleeaetb, tels que :tR\ {−1,1},= + . 2 1t1t1 +t 3)En posantt= sinxnemieret´d,rI1. 4)imenterenedslrseiatievarlasuonde(etiD´In)nN. Z π 4 1 11 5)Montrer que :nN, In>dx>  n2 cosx nn π π11 4 2cos2 n 4n End´eduirelecomportementdelasuite(In)nNlorsquentend vers +. n 2n 6)Montrer que :nN, In+2= +In. n+ 1n+ 1 ` PROBLEME
PartieI:Etudedunevariablediscr`eteduniversimageni. Deux urnesAetB, initialement vides, peuvent contenir respectivement au plusnetmboules (n>1, m>1). Onsint´eresseauprotocolesuivant On choisit l’urneAclaprobabilit´eaevp]0,1[, l’urneBobprlaec´eitilabvaq= 1p. On met une boule dans l’urne choisie. asripeuots´nceseisquiletantdefouerpuaevtecee´et´enretp`OsneuresedunluerqAouB soitpleine,cest-`a-direcontiennenboules pour l’urneAou contiennemboules pour l’urneB, leschoixdesurnes´etantmutuellementind´ependants. A.Pr´eliminaires. Onde´nitlasuitedetermege´n´eralanpar : n nC 2n an=n>1 n 4 an+1 1)Calculera1et, pour tout entiern>1, le rapport. an r n 2)rD´teouientuqpeuotrmenortren>1 :an6. 2n+ 1 3)Donner le sens de variation de la suite (an)nNee´rlnverlecorsungeveomtn,teuleerqr` 1 1 tel que :6`6. 2 2 1 On admet que`=. π 2
B. Etude de cas particuliers. 1 Dans cette partie seulementm=netp=q= . 2 On noteRnal´eatoivariableuaonbmerere´agelalssdanenuentmeleeltuenev(´tnocseluobed)lun lurnequinestpaspleine,`alissuedelexp´erience. 1)Donner les lois deR1,R2etR3. Justifier vos calculs. 2)erlesp´eranceetaCclluavalnairedecR1,R2etR3. Danstoutelasuiteduprobl`emen>2.
3)Quel est l’ensembleRn(Ω) des valeurs prises par la variableRn? 4)Soitktrnena`tpaapimrseagualveniRn(Ω). a)iubcalbaolrreplauqe´Ctilsuisl`au(edn1 +ke`em)i-eglitarurneAcontiennen1 boules et l’urneBcontiennekboules. b)Dnoenarolsralprobabilit´eP([Rn=k]). 5)erierV´euq k[0, n2]],2(k+ 1)P([Rn=k+ 1]) = (n+k)P([Rn=k]) 6)timadeonPaomrsuqno´rpieralitalnd´eduirec`ede,eqeeu E(Rn) =n(2n1)P([Rn=n1]) 7)rsun´equonneraloeDlavidtnenE(Rn) quandntend vers plus l’infini. 8),monogueanal¸coneDaf:euqrert 2 E(R n) = (2n+ 1)E(Rn)n(n1) 9)pxerssoidneEnd´eduireleV(Rn) en fonction denetE(Rn). 10)are´pseedecnectdanttrllecualaPcsagegreemlap,rithalgonlanme,eircEnuerRn, l’entier nte´dtnataue.rutlisiln´onarep
C.Retouraucasg´ene´ral. 1 On abandonne les conditionsm=netp=q= . 2 1)En utilisant un argument probabiliste, montrer que : n1m1 X X m km1n kn1 q pC +p qC =1 (1) m1+k n1+k k=0k=0 m1 X k n1 2)On poseum=qC . n1+k k=0 a)Etudier le sens de variation de la suite (um)mNelatelaridedalaen`rdtnoenu)1(noi majorant deumntdaenepd´neapdsem. Etablir alors la convergence de la suite (um)mN. m1 b)Pourk[0, nnedtvilaCedonn1]],´equerunqursloemtend vers +. m1+k c)avelruedalilimetelexistenceetlaEriude´dnivsutean: n1 X m km1 limq pC m1+k m+k=0 1 d)limProuver alors que :um= . n p m+3
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