Ecricome 2004 mathematiques classe prepa hec (stg)

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Ecricome 2004, Option TechnologiqueEXERCICE 1L’exercice se propose d’´etudier la suite (u ) d´efinie par :n n∈Nu = 00∀n∈N, u =f(u )n+1 n−x xLa fonction f ´etant d´efinie surR par : pour tout x r´eel, f(x) = e ln(1+e ).Partie 1 : Etude d’une fonction g interm´ediaire.+On consid`ere la fonction d´efinie surR par :t∀t> 0, g(t) = −ln(1+t)t+10 +1) D´eterminer la fonction d´eriv´ee g de g et en donner son signe surR .2) En d´eduire les variations de la fonction g et montrer que : ∀t> 0, g(t)6 0.Partie 2 : Etude de la fonction f.0 −x x1) D´emontrer que l’on a , pour tout x r´eel : f (x) = e g(e )2) Etudier alors les variations de la fonction f.ln(1+e)3) Sachantqueln2’ 0.69etque ’ 0.48,montrerquel’ona,pourtoutxdel’intervallee[0,1] :06f(x)6 1Partie 3 : Convergence de la suite (u )n n∈N1) Justifier que pour tout x de [0,1] :0|f (x)|6|g(e)|2) On consid`ere la fonction h d´efinie sur [0,1] par : h(x) =f(x)−x.a) Montrer que h est une fonction strictement d´ecroissante sur [0,1].b)Prouver que l’´equation h(x) = 0 admet une unique solution dans l’intervalle [0,1].c) En d´eduire que l’´equation f(x) =x admet une unique solution α sur [0,1].3) D´emontrer par r´ecurrence que pour tout n entier naturel :06u 6 1n4) Montrer que, pour tout n entier naturel :|u −α|6|g(e)|.|u −α|n+1 nAinsi que :n|u −α|6|g(e)|n5) Sachant que |g(e)|< 0.6, d´eterminer alors la limite de la suite (u ) lorsque n tend versn n∈N+∞.EXERCICE 2On consid`ere les suites r´eellesu etv ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Ecricome 2004, Option Technologique
EXERCICE 1 Lexerciceseproposede´tudierlasuite(un)nNde´ap:rnei u0= 0 nN, un+1=f(un) x x La fonctionfneiusrt´enadte´Rpar : pour toutxr´e,lef(x) = eln(1 + e).
Partie1:Etudedunefonctionginterm´ediaire. + Onconside`relafonctionde´niesurRpar : t t>0, g(t) =ln(1 +t) t+ 1 0+ 1)dne´ir´veete´Derminerlafonctiogdeget en donner son signe surR. 2)ude´dnEofcnedalitnoesvairelionsriatget montrer que :t>0, g(t)60.
Partie 2: Etude de la fonction f.
0 −x x 1)ntrerqueD´emotuotruop,anolxr:el´ef(x) = eg(e ) 2)Etudier alors les variations de la fonctionf. ln(1 + e) 3)Sachant que ln 2'0.69 et que'0.48, montrer que l’on a,pour toutxde l’intervalle e [0,1] : 06f(x)61
Partie 3: Convergence de la suite(un)nN
1)Justifier que pour toutxde [0,1] : 0 |f(x)|6|g(e)| 2)notcoin`drelefasionncOhur[0d´enies,1] par :h(x) =f(x)x. a)Montrer quehr[0tteuseuse´dtnemenassiorctincfonectriston,1]. b)uqlevureauit´qeonProh(x) = 0 admet une unique solution dans l’intervalle [0,1]. c)nE´ddeiuernoitauqe´leuqf(x) =xadmet une unique solutionαsur [0,1]. 3)treremonD´touepourtnerruqecrrapuce´nentier naturel : 06un61 4)Montrer que, pour toutnentier naturel : |un+1α|6|g(e)|.|unα| Ainsi que : n |unα|6|g(e)| 5)Sachant que|g(e)|<0.imentere,6´ddetemililarslora(etiusalun)nNlorsquentend vers +.
EXERCICE 2 Onconsid`erelessuitesre´ellesuetv´endarleiespmeeirurpemtrreu0= 1,v0= 0 et les relations der´ecurrence:1 1 3 un+1=unvn4 2 4 nN, 5 3 vn+1=un+vn4 4 ( wn=un+vn+ 6 1 3 1)On pose :nN, tn+1=un+vn+ 2 2 a)Montrer que les suites (wn)nNet (tn)nNe´gsetiuqirte´moesnied´ssdentsoniisaues. b)rD´eterminewnettnen fonction de l’entiern. c)Montrer que les suites (wn)nNet (tn)nNsont convergentes et donner leur limite. d)irdu´endEssuites(grneecedlecanoevun)nNet (vn)nNet donner leur limite. 2)On noteAte2,eatamlrrcacerilee´ree´rdrodelBlaiceumatrolnninocleelree´´e,dienarsp:    un+1un =A+B. vn+1vn a)ExpliciterAetB.   1 1 b)SoitP= . –1 –2 1 De´montrerquelamatricePterete´dbielevsrrseinversonmineinsteP. 1 c)Montrer que la matriceD=P APest diagonale. d)Ierqreu´:er,2omtnta´terdicoercdaertra´neteluanim 1 P(DI)P=AI 1 e)leuqtamade´deriuEnriceAIimenterete´dbielversstinee(rsveinonrsAI) . f )lerduose´Re´uqtaoi:n (AI)X+B= 0   x1 o`uX=einlennco.uealtsrtamrecilee´ x2  ! limun n+g)´eVernire:qneuX= limvn n+EXERCICE 3 Chaquejour,uneentrepriseenvoieuncolis.Elleutiliselesservicesdessoci´ete´sdetransportA ouB. Laprobabilite´pourquelasoci´ete´Alivre le colis avec retard est de 0.1ola,uqsrpalebarolibiet´ pourquelasocie´t´eBlivre avec retard est de 0.nO.2lesoppusrdtareesssceucssdne´fiisnastepdn. Onseproposed´etudierdiversessituationslie´esa`cesdonne´es.Leshypothe`sesdonne´espourune situation ne sont valables que pour une seule situation. Partie 1: Situation 1 Lentreprised´ecidedutiliserlasocie´te´Apendantnurjocsno´scetufi.s(n´etantunentier naturel non nul). On noteXvalaabrialleerrivlisalecoaulega´ereoiat´eu`osruojederbmon en retard. 1)derlneoialreim´DteX. 2)ceDoesp´eranruelledrennavalE(X) deX. 3)ice´´teaLosArvilosianpsraueorlsviocilansrr´esd,laetareyaptiaftnela`reuisprree8xdrinp e´tantgratuitepourtoutcolislivre´avecretard.OnnoteWxiap´yperalnerteprisesurlepr unep´eriodedenjours. a)ExprimerWen fonction deX. b)elrape´sirpertnp´lauresdedeioerdeiunE´dprixrelenpaymoyenjours. 2
Partie 2: Situation 2 Pourdesraisonstarifaires,lentreprised´ecidedutiliserlasoci´ete´Bdans 60% des cas, et la socie´t´eAdans 40% des cas. 1)equelit´lisalecoeernrrvi.dterannodc,e´nUruojroapbibacualrlle 2)rd.Quelleestlaprbobalitie´uqial´eitelt´r´ivarepaldourjoUnec,l´ennirrasiloaterneev socie´te´A? Partie 3: Situation 3 Lentreprisetentelexp´eriencesuivante:`apartirdunjourdonne´quelonnoteralejour 1,ellede´cidedutiliserlasoci´et´eAssilocnu´rviltioquus,jueqac`itrcreteaveAparard. dujoursuivant,elleutiliseralasocie´t´eB. On noteYtaioererrpe´estnnalltaveariableal´e nume´rodujouro`upourlapremie`refoislentrepriseutiliselasoci´ete´B. 1)Justifier que l’ensemble des valeurs prises parY´esteal`gaN\ {1} k2 2)Montrer que :kN\ {1}P(Y=k) = (0.1)(0.9) +X 3)elraclacire´preVe:ulquP(Y=k) = 1. k=2 Partie 4: Situation 4 Onsupposequelamasseduncolis,exprime´eenkilogrammes,estunevariableal´eatoireMqui suituneloiexponentielledeparame`tre2. 1)relppleseisxerpunedondt´edensieRaMpartitioionder´e.nelquxpe,asiinfasetcnosserdnoi 2)realaveloDnnceanerp´esldeuredM. 3)vinaseuset:sxactursevalerlesil´tabibpsorseedenimrete´D P(M61.5), P(M>2), P(1.56M62) 4)prleerulvoendixclacruoPs,lasoci´et´emuldiucnlosineueorogilmmraelpitaleissamknee du colis par deux, auquel elle ajoute une taxe forfaitaire de 3 euros. On noteE, le prix d’envoi d’un colis. a)ExprimerEen fonction deM. b)pe´rednonoititraofalitcnmretreni´eDGdeE.
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