Ecricome 2005 mathematiques classe prepa hec (eco)

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ECRICOME 2005Option Economique1 EXERCICEOn consid`ere, pour tout entier naturel n, l’application ϕ d´efinie surR par :nn −2x∀x∈R, ϕ (x) = (1−x) enainsi que l’int´egrale :Z 1I = ϕ (x) dxn n0On se propose de d´emontrer l’existence de trois r´eels, a, b, c tels que :b c 1I = a+ + + ε(n) avec lim ε(n) = 0n 2 2 n→+∞n n n1. Calculer I , I .0 12. Etudier la monotonie de la suite (I ) .n n∈N3. D´eterminer le signe de I pour tout entier naturel nn4. Qu’en d´eduit-on pour la suite (I )n n∈N−2x5. Majorer la fonction g : x→ e sur [0,1]6. En d´eduire que :1∗∀n∈N , 0≤ I ≤nn+17. D´eterminer la limite de la suite (I ) lorsque n tend vers l’infini.n n∈N8. A l’aide d’une int´egration par parties, montrer que :∀n∈N, 2I = 1−(n+1)In+1 n9. En d´eduire la limite de la suite (nI ) lorsque n tend vers l’infini.n n∈N10. D´eterminer la limite de la suite (n(nI −1)) lorsque n tend vers l’infini.n n∈N11. Donner alors les valeurs de a, b, c.2 EXERCICE.On consid`ere la fonction f d´efinie par :+∗ 2∀x∈R , f (x) = x −xln(x)−1f (0) =−1le tableau de valeurs de f,x 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4f (x) −0,5 0 0,6 1,6 3 4,7 6,9 9,5ainsi que les fonctions ϕ et g d´efinies par :2+∗ 2 y x∀x∈R , ϕ(x) = +ln(x), ∀(x,y)∈R , g(x,y) = xe −yexECRICOME˙eco˙2005 Page 1/52.1 Etude de deux suites associ´ees `a f.+1. Montrer que f est continue surR .2. Etudier la d´erivabilit´e de la fonction f en 0. En donner une interpr´etation graphique.+∗3. Etudier la convexit´e de f surR , puis dresser son ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ECRICOME 2005 Option Economique
1 EXERCICE Onconsid`ere,pourtoutentiernatureln, l’applicationϕnrsuneide´Rpar : n2x xR, ϕn(x) = (1x)e ainsiquelinte´grale: Z 1 In=ϕn(x)dx 0 Onseproposedede´montrerlexistencedetroisr´eels,a,b,ctels que : b c1 In=a+ ++ε(n) aveclimε(n) = 0 2 2 n+n nn 1. CalculerI0, I1. 2. Etudierla monotonie de la suite (In) . nN 3.De´terminerlesignedeInpour tout entier natureln 4.Quende´duit-onpourlasuite(In) nN 2x 5. Majorerla fonctiong:xesur [0,1] 6.Ende´duireque: 1 nN,0Inn+ 1 7.De´terminerlalimitedelasuite(In) lorsquentend vers l’infini. nN 8.Alaideduneinte´grationparparties,montrerque: nN,2In+1= 1(n+ 1)In 9.End´eduirelalimitedelasuite(n In) lorsquentend vers l’infini. nN 10.De´terminerlalimitedelasuite(n(n In1)) lorsquentend vers l’infini. nN 11. Donneralors les valeurs dea,b,c.
2 EXERCICE. Onconsid`erelafonctionf:rapein´ed +2 xR, f(x) =xxln (x)1 f(0) =1 le tableau de valeurs def, x0,5 11,5 2 2,5 3 3,5 4 f(x)0,5 0 0,6 1,6 3 4,7 6,9 9,5 ainsi que les fonctionsϕetge´d:arspien 2 +2y x xR, ϕ(x+ ln () =x),(x, y)R, g(x, y) =x ey e x
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2.1Etudededeuxsuitesassoci´eesa`f. + 1. Montrerquefest continue surR. 2.Etudierlad´erivabilite´delafonctionforunnndei.nEnne0rpeteetr´oitaargnqihp.eu +3.Etudierlaconvexite´defsurRseesdrisbltaonrsraveduaeesnoitaiecisnpr´alimantltie,up def(x) lorsquextend vers l’infini. 4. Etudierla nature de la branche infinie. +5. Montrerquefejibenuesilae´rendioctRsur un intervalleJleouqera.ecisnpr´ 11 6. Quel est le sens de variation defe´Dte?rlnemiereditimalf(x) lorsquextend vers l’infini. 7. Justifierque pour tout entier naturelki,ixeluetsinune´leuqrexkpositif tel que : f(xk) =k a) Donnerla valeur dex0. b) Utiliserle tableau de valeurs def´eterminepourdmerddtnenureacnex1etx2. 1 c) Exprimerxkl`adedeaifpuis justifier que la suite (xknemiarsstcr)enaetiossterete´d limite lorsquektend vers l’infini. 8.Ond´enitlasuite(un) par : 2 u0= 3 nN, un+1=ϕ(un)
+a) Etudierles variations deϕsurR.     3 33 b) Ondonneϕ'1,73 etϕ(2)'1,que69. Montrerϕ ,2,2 2 22 0 c)En´etudiantlesvariationsdeϕ, montrer que :   3 2 0 x,2|ϕ(x)| ≤ 2 9 d)Montrerquelese´quationsx=ϕ(x) etf(xeltniuav´tqes1no)=lee´relueeqirdu´end.Ees x1´equation:qieuosulitnoedlnultse x=ϕ(x) e) Montrersuccessivement que pour tout entiern: 3 un2 2 2 |un+1x1|| ≤unx1| 9   n 2 |unx1| ≤ 9 f)End´eduirelalimitedelasuite(un).
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2.2Recherchedextremum´eventueldeg. 1.Calculerlesd´erive´espartiellespremi`eresdelafonctiong. 2 2. Montrerque sigadmet un extremum local en (a, b) deRalors : ( ab= 1 1 aa=e a Ende´duirequen´ecessairement: a >0 ab= 1 f(a) = 0 etdoncqueleseulpointou`gpeut admettre un extremum est le couple (1,1) 3.Calculerlesr´eels: 2 22 ∂ g∂ g∂ g r= (1,1), s= (1,1), t= (1,1) 2 2 ∂x ∂x∂y∂y 2 4. Lafonctiongadmet-elle un extremum local surR?
3 EXERCICE Oneectueunesuitedelancersdunepie`cedemonnaie.Onsupposequelesr´esultatsdeslancers sontinde´pendantsetqu`achaquelancer,lapi`ecedonnepileaveclaprobabilit´ep(0< p <1) et face aveclaprobabilite´q= 1p. Onsinte´ressedanscetexercicea`lapparitiondedeuxpilesconse´cutifs. Pour tout entier naturelnnon nul, on noteAnsilapse´nosse´rtroutn:led´xuvee´enems´ecutifpilescon lapremi`erefoisauxlancersnum´eronetn+ 1“. Ond´enitalorslasuite(anabobpresd)ilit´esdes´ev´enmenestAnpar : nN Pour tout entier naturelnnon nul :an=p(An) avec la conventiona0= 0
3.1Encadrementdesracinesdele´quationcaracte´ristique. Onconside`relafonctionpolynomialefbler´eelelavariadelx:rapeine´d 2 f(x) =xq xp q 1.Montrerquel´equationf(x`edeposs)=0dselitsietcnsuxdecirasrneel´er1etr2(r1< r2). Exprimerr1+r2, r1r2en fonction depetq. 2. Calculerf(1), f(1), f(0). 3.End´eduirelencadrementsuivant: |r1|<|r2|<1
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3.2 Equivalentdeanquandntend vers l’infini. 1.De´terminera1,a2eta3en fonction depetq. 2.Enremarquantquel´eve´nementAn+2i:e´isteeslumenestesisal´etr tn,omemedecrtir`apae,etiragonaobtenupilecefadeaui`uxetemrpuaeimeritr,egaAn estre´alise´ ou mone,titdrceme,et`aparertirageimerpuaecafunetbaoonAn+1isal.´ees´etr montrer que l’on a, pour tout entier natureln, an+2q an+1p q an= 0 3. Ecrireun programme, en langage Pascal, permettant de calculeran, l’entiern´eels,elrspetq ´etantdonne´sparlutilisateur. 4. Montrerque pour tout entier, natureln, 2 p n n = [r] an=2r1 r2r1 5.Donnerune´quivalentdeanlorsquentend vers plus l’infini.
3.3 Expressiondeanen fonction dene.lltrmaieicte´medohapenur Ond´enitlesmatricesAetPpar :    r1+r2r1r2r1r2 A=, P= 1 01 1 ainsi que les matrices unicolonnesXnpar :   an+1 Pour tout entier natureln:Xn= an 1.Ve´rierquepourtoutentiernatureln: Xn+1=A Xn 2. Montrerque les matricesAr1IetAr2I(ne sont pas inversibles.Imatairece´isngledcarr´ee unit´edordre2). 3.Ende´duirequeAest diagonalisable. 1 4. MontrerquePeebl´etdrmteerinersitinvesP. 1 5. Calculerla matriceD=P AP. (Lescoefficients de la matriceDonteonersse´mirpxitcnofne der2etr1seulement). 6.De´montrerparr´ecurrence,quepourtoutentiernatureln: n1 Xn=P XP D0 7. Retrouverainsi l’expression deanen fonction der2,r1,Petn.
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